Scheitelpunktform berechnen,hilfe?
Kann mir jemand erklären,wie man die scheitelpunktform berechnet? Es wäre schön Schritt für Schritt An dem Beispiel→ f(x)= 3x^2-6x+1
5 Antworten
Du musst hier die quadratische Ergänzung anwenden:
f(x) = 3x² - 6x + 1
= 3(x² - 2x) + 1
= 3(x² - 2x + 1 - 1) + 1
= 3((x - 1)² - 1) + 1
= 3(x - 1)² + 3*(-1) + 1
= 3(x - 1)² - 3 + 1
= 3(x - 1)² - 2
Der Scheitelpunkt liegt hier also bei (1 | -2).
Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.
LG Willibergi
Naja, ich klammere ja den Faktor 3 aus.
Und da musst du dir eben überlegen, was du mit 3 multiplizieren musst, um -6x zu erhalten. Das sind die -2x, denn 3*(-2x) = -6x.
LG Willibergi
Danke dir
Und dann hätte ich dann noch eine Frage : ich bin mir nicht sicher wieso im dritten Schritt da eine +1-1 steht
Wieso kommt da eine 1 hin?
Mir hat das jemand erklärt und gemeint da käme eine +3-3 hin
Der Scheitelpunkt ist der höchste bzw. tiefste Punkt einer Parabel und es funktioniert bei deinem Beispiel so:
f(x) = 3x^2 - 6x + 1
f'(x) = 6x - 6
f'(x) = 0 ergibt der höchste bzw. tiefste Punkt
6x - 6 = 0
6x = 6
x = 1
x = 1 einsetzen bei f(x) ergibt
f(x) = 3 * (1)^2 - 6 * 1 + 1
f(x) = 3 - 6 + 1 =-2
Der Punkt ist also (1, -2)
Hoffe, dass das reicht :)
Die Scheitelpunktsform der allgemeinen Parabelgleichung lautet:
f(x) = a (x - xS)² + yS wobei S ( xS | yS ) der Scheitelpunkt der Parabel ist.
Wir müssen also nur die Parabelgleichung in obige Form bringen und können dann die Koordinaten des Scheitelpunktes ablesen.
Also:
f(x) = 3 x² - 6 x + 1
f(x) = 3 ( x² -2 x ) +1
Quadratische Ergänzung
f(x) = 3 ( x² -2 x + 1² -1² ) + 1
f(x) = 3 [ ( x - 1)² - 1 ] + 1
f(x) = 3 ( x - 1 )² - 3 + 1
f(x) = 3 ( x - 1 )² - 2
Damit haben wir die Funktionsgleichung in Scheitelpunktsform gebracht und können die Koordinaten des Scheitelpunktes ablesen
S ( 1 | -2 )
allgemeine Form der Parabel y=f(x)=a2*x^2+a1*x+ao
hier a2=3 unda1=-6 und ao=1
Scheitelkoordinaten bei x= - (a1)/(2*a2) und y=-(a1)^2/(4*a2) +ao
eingesetzt x= - (-6)/(2*3= 1 und y=- (-69^2/(4*3) +1= -2
Scheitelpunktform y=f(x)=a2 * (x+b)^2 + c
mit b= - x= - (1)=-1 und C=y=-2
eingesetzt y=f(x)= 3 *(x - 1)^2 - 2
weitere Möglichkeit mit der "Kurvendiskussion"
Bedingung "Minimum" f´(x)=0 und f´´(x)>0
a2>0 Parabel nach oben offen ,deshalb Minimum" vorhanden
a2<0 nach unten offen ,deshalb "Maximum" vorhanden
Extrempunkt ist dann der Scheitelpunkt
3. Möglichkeit mit der "Quadratischen Ergänzung"
siehe Mathe-Formelbuch
ist etwas aufwendiger
Einfach in die Formel einsetzen:
b b^2
S(- ----- / c- ----- )
2 a 4 a
6 (-6)^2
---- und 1- -------
2*3 4*3
1 und -2
Wie kommst du beim ersten Schritt von der 6 zu der 2 beim Zweiten Schritt? sonst verstehe ich alles