Frage von jhilli, 90

Hilfe bei Quadratischen Funktionen - Polynomdarstellung und Scheitelpunktform?

Hallo,

ich bin in der Schule leider nicht ganz mitgekommen und habe nun folgende Frage: Kann jemand Schritt für Schritt erklären, wie ich von der Scheitelpunktform zur Polynomdarstellung komme und von der Polynomdarstellung zur Scheitelpunktform?

Ich wäre euch unendlich dankbar :-)

Wir haben folgende Gleichungen gegeben:

f(x)= 3(x-3)²+2 und

f(x)= 4x² +8x -4

Schon einmal vielen Dank für eure Hilfe

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von gilgamesch4711, 20

  Diese Frage kommt heute schon zum 4 711. Mal. Glückwunsch; Jubiläum. Keine Frage wurde je häufiger gestellt; ich zittere schon wieder, in wie viel Minuten der nächste Kantonist antanzt. In meinen Augen bist du der absolute Egoist; du könntest ja mal schauen, wer alles noch so fragt. Meinst du, ich bin alleine für dich da?

  Was ich jetzt bitte nicht hören will; dass dein Lehrer irgendetwas angeblich ganz anders gemacht haben will, als ich es hier vorführe. Leg dir lieber einen gescheiten Spickzettel an; und wenn du diese Mail mit deinem Lehrer besprechen willst, spräche an und für sich auch nix dagegen.

  f  (  x  )  :=  3  (  x  -  3  )  ²  +  2        (  1a  )

  Wie wandelt man das in die Polynomform um? Durch Klammern Auflösen ( nebenbei bemerkt, das Einzige, was ihr überhaupt könnt. )

   Schon mal von der Klimbimformel gehört?

   (  Klim  +  bm  )  ²  =  Klim  ²  +  biom  ²  +  2  Klimbim      (  1b  )

   f  (  x  )  :=  4  x  ²  +  8  x  -  4          (  1c  )

   Wie bekommen wir hier den Scheitel raus? Da gäbe es drei Metoden. Erstens: über die Normalform.

    g  (  x  )  :=  x  ²  -  p  x  +  q           (  2a  )

   Im Falle ( 1c ) hast du

    p  =  (  -  2  )  ;  q  =  (  -  1  )         (  2b  )

   Für den Spickzettel; der Scheitel liegt bei

     x0  =  p / 2  =  (  -  1  )         (  2c  )

   Warum ist das so? Aus dem Satz von Vieta folgt

    p  =  x1  +  x2           (  2d  )

  und der Scheitel liegt natürlich immer symmetrisch in der Mitte zwischen den beiden Knoten. Ach übrigens; in dem Konkurrenzportal ===> Lycos arbeite ich viel näher am Schüler als hier; daher weiß ich, dass ihr alle diese Symmetrie kennt ( auch mal ein Lichtblick )

   Zweite Möglichkeit; das von mir selbst entwickelte " Fortschmeißverfahren " Das Absolutglied in ( 1c ) tust du sang-und klanglos wegschmeißen:

   F  (  x  )  :=  4  x  ²  +  8  x  =          (  3a  ) 

                   =  4  x  (  x  +  2  )      (  3b  )

         X1  =  (  -  2  )  ;  X2  =  0       (  3c  )

   Der Sinn und Zweck der ganzen Übung. Die Wurzeln ( 3c ) hast du doch in Null Komma nix; abermals bildest du den aritmetischen Mittelwert und landest bei x0 in ( 2c ) Begründung: Der Scheitel ändert sich doch nicht, wenn du die Parabel vier Einheiten nach Oben verschiebst.

  Aber das mit Abstand beliebteste Verfahren ist und bleibt die ===> Differenzialrechnung aus der höheren Matematik. Das rein Technische ohne alle Beweise kannst auch du dir aneignen; ich glaube nicht, dass dein Lehrer dich negativ bewertet, wenn er sieht, dass du auf den Konzeptzetteln, die du deiner Klausur beifügst, Differenzialrechnung einsetzt. Es gilt, die ===> erste Ableitung von ( 1c ) Null zu setzen:

     f  '  (  x  )  =  8  x  +  8  =  0  ===>  x0  =  (  -  1  )     (  4  )

   Und y0 ? Ermittelst du natürlich, indem du das gefundene x0 einsetzt in ( 1c ) ; y0 = ( - 8 ) Lösung der Aufgabe

   f  (  x  )  =  a2  (  x  -  x0  )  ²  +  y0  =     (  5a  )

                =  4  (  x  +  1  )  ²  -  8     (  5b  )    ;   Probe !

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 26

Um von der Scheitelpunktform zur Polynomdarstellung zu kommen, löst Du die quadratische Klammer mit Hilfe der binomischen Formeln auf, also:
(a+b)²=a²+2ab+b² bzw. (a-b)²=a²-2ab+b²
also bei Dir: f(x)=3(x-3)²+2=3(x²-6x+9)+2=3x²-18x+27+2=3x²-18x+29
Den umgekehrten Weg sollt ihr sicher mit Hilfe der quadratischen Ergänzung gehen, dazu klammerst Du erst einmal so aus, dass Du x²+.... erhälst.
bei Deiner Aufgabe kannst Du die 4 ausklammern, also f(x)=4(x²+2x-1)
jetzt kommt die quadratische Ergänzung: Du halbierst die Zahl vor dem x und quadrierst das dann, das Ergebnis addierst und subtrahierst Du anschließend hinter dem x, im Klartext: Die Zahl vor x ist die 2 => halbieren: 2/2=1 => quadrieren 1*1=1
=> f(x)=4(x²+2x+1 -1-1) [Fett=quadr. Ergänzung]
die vorderen drei Summanden ergeben die 1. binomische Form, also hast Du f(x)=4((x+1)² -2). Jetzt mußt Du noch die -2 ausklammern, um die endgültige Scheitelpunktform zu erhalten: f(x)=4(x+1)²-8

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 33

1.)

f(x)= 3 * (x - 3) ^ 2 + 2

https://de.wikipedia.org/wiki/Binomische\_Formeln

Zweite binomische Formel anwenden auf (x - 3) ^ 2

(x - 3) ^ 2 = x ^ 2 - 6 * x + 9

3 * (x - 3) ^ 2 = 3 * x ^ 2 - 18 * x + 27

3 * (x - 3) ^ 2 + 2 = 3 * x ^ 2 - 18 * x + 29

2.)

y = f(x) = a * x ^ 2 + b * x + c = a * (x - u) ^ 2 + v

u und v können aus a, b und c berechnet werden -->

u = -b / (2 * a)

v = (4 * a * c - b ^ 2) / (4 * a)

y = f(x) = 4 * x ^ 2 + 8 * x - 4

a = 4 und b = 8 und c = -4

u = -8 / (2 * 4) = - 1

v = (4 * 4 * - 4 - 8 ^ 2) / (4 * 4) = -8

y = f(x) = a * x ^ 2 + b * x + c = a * (x - u) ^ 2 + v

y = f(x) = 4 * x ^ 2 + 8 * x - 4 = 4 * (x - (-1)) ^ 2 - 8

y = f(x) = 4 * x ^ 2 + 8 * x - 4 = 4 * (x + 1) ^ 2 - 8

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 35

für das 2.

zum 1.

3(x²-6x+9)+2 = 3x²-18x+29

Kommentar von derwahnsinn44 ,

Müsste man dann nicht noch alles durch 3 machen?

Kommentar von Ellejolka ,

nee, nur wenn du die Nullstellen berechnen willst.

Antwort
von MustiNRW, 26

Da hilft nur eine 9mm

Nein Spaß zur Seite Google es doch einfach gibt genug Erklärungen.

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