Satz des Pythagoras -.-
Nabend zusammen,
wir schreiben am Freitag eine Arbeit über das Thema "Satz des Pythagoras"
jetzt habe ich im Buch eine aufgabe inder verlangt wird das wir die Katheten ausrechnen. Es ist ein Gleichseitiges Dreieck, die seite c oder Hypotenuse beträgt 150cm. wie rechne ich nun aus wie groß die beiden Katheten sind ??
und außerdem heißten die formen ja :
a2+b2=c2
c2-b2=a2
c2-a2=b2
jetzt beschriftet man aber nicht jedes Dreieck so das die Hypothenuse seite c ist kann die formel also auch z.b. so lauten
c2+b2=a2 (wen a2 also die Hypothenuse ist) oder muss ich das Dreieck so beschriften das die Hypothenuse seite C ist ??
danke schonmal für eure antworten
wünsch alles schöne Feiertage
8 Antworten
Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang - kennst du die Länge einer Seite, kennst du also auch die Längen der beiden anderen Seiten. Ein gleichseitiges Dreieck kann jedoch niemals rechtwinklig sein, denn nicht nur alle seine Seiten sondern auch alle seine Winkel sind gleich groß, nämlich jeweils 60 °
Bei einem gleichschenkligen Dreieck (und das ist hier vermutlich gemeint), gilt:
Kathete1 = Kathete2
Außerdem teilt die Höhe über der Hypotenuse diese genau in der Mitte, die Hypotenusenabschnite p und q sind also ebenfalls gleich, nämlich
p = q = Hyp / 2
Das alles aber nützt einem nur herzlich wenig, wenn man nur die Länge der Hypotenuse kennt. Denn alleine darau skann man die Länge der Katheten nicht eindeutig bestimmen, weil es unendlich viele Möglichkeiten gibt, zu einer gegebenen Hypotenuse ein gleichschenkliges Dreieck zu konstruieren: Jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten der Hypotenuse (mit Ausnahme des gemeinsamen Schnittpunktes) bildet mit dem Anfangs- und Endpunkt der Hypotenuse ein gleichschenkliges Dreieck.
Wenn man jedoch weiß, dass es sich um ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck handeln soll, dann gibt es dafür nur noch genau zwei Möglichkeiten.
Ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck ist nämlich nichts weiter als eines der beiden Teildreiecke eines Quadrates, die entstehen, wen man das Quadrat entlang seiner Diagonalen durchschneidet. Die Diagonale des Quadrates ist also gleich der Hypotenuse dieser beiden Teildreiecke, während die Seiten des Quadrates die Katheten der beiden Dreiecke bilden..
Für die Länge der Diagonalen d eines Quadrates mit der Seitenlänge a gilt jedoch (Satz des Pythagoras) :
d ² = a ² + a ² = 2 a ²
<=> a = Wurzel ( d ² / 2 ) = d / Wurzel ( 2 )
Und das ist auch die Länge der beiden Katheten eines gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreieckes bei gegebener Hypotenusenlänge d.
(Hinweis: Der Satz des Pythagoras gilt ausschließlich in rechtwinkligen Dreiecken! )
Zur Bezeichnung der Dreiecksteile:
A ) rechtwinklige Dreiecke
1) In rechtwinkligen Dreiecken wird die längste Seite "Hypotenuse" genannt und mit c bezeichnet. Die beiden kürzeren Seiten werden als "Katheten" bezeichnet.
2) Die Ecke gegenüber der Seite c (Hypotenuse) erhält die Bezeichung C und der dortige Winkel die Bezeichnung "gamma". Der Winkel gamma ist immer der rechte Winkel des Dreieckes.
3) Die im mathematisch positiven Sinne (also entgegen dem Uhrzeigersinn) auf C folgende Ecke erhält die Bezeichnung A, der dortige Winkel die Bezeichnung "alpha".
4) Die übrig bleibende Ecke erhält die Bezeichnung B, der dortige Winkel die Bezeichnung "beta".
5) Die Kathete, die der Ecke A gegenüberliegt, wird mit a bezeichnet, die andere Kathete, die der Ecke B gegenüberliegt, mit b.
Kontrolle:
Im mathematisch positiven Sinne (also entgegen dem Uhrzeigersinn) folgen die Ecken A, B und C aufeinander, ebenso die Seiten a, b und c und die Winkel alpha, beta und gamma.
B) Nicht rechtwinklige Dreiecke:
In nicht rechtwinkligen Dreiecken gibt es keine Hypotenuse und somit auch keine Seite, die aufgrund obiger Konventionen mit c zu bezeichnen wäre.
Ist das Dreieck gleichseitig, dann kann eine beliebige Seite mit c bezeichnet werden. Daraus ergeben sich dann entsprechend den oben erläuterten Schritten 2 - 5.
Ist das Dreieck gleichschenklig, besitzt also genau zwei gleich lange Seiten, dann wird die dritte Seite mit c bezeichnet und die übrigen Bezeichungen ergeben sich wieder aus den obigen Schritten 2 - 5.
Hat das Dreieck drei verschieden lange Seiten, dann bezeichnet man die längste Seite mit c. Auch hier ergeben sich die übrigen Bezeichnungen aus den obigen Schritten 2 - 5.
Allgemein:
Außer bei gleichseitigen Dreiecken gibt es in jedem Dreieck genau eine längste ODER genau eine kürzeste Seite. Gibt es genau eine eine längste Seite, dann wird diese mit c bezeichnet, andernfalls die kürzeste Seite.
Bei gleichseitigen Dreiecken kann eine beliebige Seite mit c bezeichnet werden
Sobald bekannt ist, welche Seite mit c zu bezeichnen ist, ergeben sich die übrigen Bezeichnungen aus den obigen Schritten 2 - 5 .
Also zudem wie du die Katheten ausrechniest solltest du es so angehen:
1. Es ist ein gleichseitiges Dreieck, das bedeuted die zwei katheten sind gleich lang
2.berchne dann das hyp. quadrat
3.das ergebniss teilst du dann durch zwei, da du ja zwei gleich lange katheten hast, und die formel ja kathet2 + kathete2 = hyp2 ist.
4. musst du nur noch die wurzel daraus ziehen, und hast somit die länge einer kathete
und die formel ja kathet2 + kathete2 = hyp2 ist.
Das gilt jedoch nur in rechtwinkligen Dreiecken!
Ein gleichseitiges Dreicek hat alle Seiten gleich und alls Winkel gleich und mit 60° also ist es kein recbhtwinkliges Dreieck,. Dann gibt es auch keine Katheten und Hypothenuse und kein Pytharoras für dieses Dreicek! Kann kann es allerdings in 2 rechtwinklige Dreiecke teilen!
Es kann nur ein gleichschenkliges Dreieck gemeint sein. Da ja nun beide Katheten gleich lang sein sollen, sind a und b identisch, Du hast also nur noch eine Unbekannte und nach der kannst Du auflösen:
2a^2=150^2
Rechnen solltest Du selbst können.
Das Dreieck sähe übrigens aus wie ein Geodreieck mit einer 150 cm langen Seite.
die Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks und liegt gegenüber vom rechten Winkel - also sind die anderen beiden Seiten die Katheten - wie Du die nennst ist doch vollkommen egal - Du kannst denen auch Tiernamen geben, wenns Dich glücklich macht.