Sätze von Vieta?
Ich muss die Aufgabe 3.158 lösen, weiß aber nicht ganz wie. Kann mir da wer helfen?
3.158 Eine Lösung der quadratischen Gleichung x²-6x+q=0 ist doppelt so groß wie die andere. Berechne die beiden Lösungen und den Koeffizienten q.
EDIT: Vielleicht habe ich es gerade selbst hergebracht. Ich habe für x1 einfach 2 eingesetzt. Wäre das so möglich?
4 Antworten
Vietasche Wurzelsätze
x₁ + x₂ = -p
x₁ * x₂ = q
Es soll gelten: x₁ = 2*x₂ und p = -6
x₁ + x₂ = 3x₂
Daraus folgt:
3x₂ = 6 | /3
x₂ = 2 | *2
x₁ = 4
x₁ * x₂ = q = 8
Daraus ergibt sich die Gleichung:
x² - 6x + 8 = 0
Lösungen (schade, die anderen waren so überraschend):
x₁ = 2
x₂ = 4
Tatsächlich ist dann:
x₁ + x₂ = 6 = -p
x₁ * x₂ = 8
Deine Lösung (x1=2 statt x1=2*x2) stimmt nur wenn x2=1
Setze ein und prüfe...
...bzw. schau ob du ein passendes q findest...
x²-6x+q=0
Für x1=2 -> 2²-6*2+q=0 -> q=12-4=8
Für x2=1 -> 1²-6*1+q=0 -> q=6-1=5
= Passt nicht...
Wenn man aber x2=2*x1 (statt x1=2*x2) annähme:
Für x2=4 -> 4²-6*4+q=0 -> q=24-16=8
Tataaah ;o)
...das war aber schlicht rumprobieren und nicht lösen...
Der Satz von Vieta besagt, dass die Summe der Lösungen einer quadratischen Gleichung gleich dem negativen Koeffizienten des x-Term ist. In dieser Gleichung ist der x-Term x^2-6x, also ist der negative Koeffizient -6.
Da eine der Lösungen doppelt so groß ist wie die andere, betragen die beiden Lösungen -6 und -3. Wir können diese Werte in die quadratische Gleichung einsetzen, um den Wert von q zu berechnen. Wir erhalten:
x^2-6x+q = (x-(-6))(x-(-3))
x^2-6x+q = (x+6)(x+3)
x^2-6x+q = x^2+9x+18
q = 9x+18
Da x beliebig sein kann, können wir x = 0 wählen, um q
Würde meine Methode auch gehen oder war es nur Zufall das sie geklappt hat? Ich habe einfach x1 + x2 = -p und dann für x1 = 2 eibgesetzt -> da doppelt
HI,
laut Satz von Vieta ist :
x1 + x2 = 6
x1 * x2 = q
und wir wissen zusätzlich dass:
x1 = 2 * x2
setzen wir das in die erste Gleichung ein:
2*x2 + x2 = 6 | zusammenfassen
3*x2 = 6 | :3
x2 = 2
demnach ist x1 = 2 * 2 = 4
und dann q = 4 * 2 = 8
LG,
Heni
Bitte nochmal prüfen. Hat sich ein Fehler eingeschlichen.
2 und 4 sind die Lösunge für x1 und x2