Satz von Vieta mit nur einer Lösung berechnen?
Hii,
ich habe bald eine GFS und schaffe es nicht diesen Zusammenhang herauszuarbeiten.
Nehmen wir mal an, dass die quadratische Gleichung x²+bx+c=0 nur eine Lösung x1 hat. Wie kann man einen Zusammenhang zwischen der Lösung x1 und den Koeffizienten b und c / Koeffizienten p und q der Gleichung herstellen?
Und dann das Ergebnis an der Gleichung x²-6x+9 überprüfen
3 Antworten
Nach dem Satz von Vieta gilt für die quadratische Gleichung x² + b x + c = 0
b = – (x1 + x2)
c = x1 • x2.
Gibt es nun nur eine Lösung, so ist es eine doppelte Lösung. Es ist also x1 = x2. Setzen wir also x = x1 = x2, um hervorzuheben, dass es nur eine Lösung gibt, die wir x nennen. Mit dem Satz von Vieta erhalten wir dann
b = –(x + x) = –2 x
c = x • x = x²
beziehungsweise mit den gegebenen Werten b = –6 und c = 9 das Gleichungssystem
–6 = –2 x
9 = x².
Beide Gleichungen können sofort gelöst werden - falls ihr noch nicht die (Quadrat-)Wurzel eingeführt habt, dann nur die erste Gleichung.
–6 = –2 x |•(–1)
6 = 2 x |:2
3 = x
Setzen wir nun x = 3 in die zweite Gleichung ein, so erhalten wir
9 = 3²,
was natürlich korrekt ist. x = 3 ist also unsere einzige Lösung.
Der Satz von Vieta besagt ja das x1 + x2 = -b und x1*x2 = c. Wenn nur eine Lösung vorhanden ist handelt es sich um eine doppelte Nullstelle, also ist x1 = x2 oder
2x1 = -b und x1^2 = c.
In deinem Fall ist x1 = x2 = 3, also 2x1 = 6 = -b und x1^2 = 3^2 = 9 = c.
Wenn die Gleichung nur eine Lösung hat, dann ist x1=x2.
Setze einfach in den Satz von Vieta x1 anstelle von x2 ein, und schon hast du deinen Zusammenhang.