Robinson Crusoe Matrix Mathe?
Auf einer Insel gelten folgende Regeln (I) Der Übergang von schönem auf schlechtes Wetter sei genauso wahrscheinlich wie der Übergang von schlechtem auf schönes Wetter. (II) Ist es heute schön, so ist es in zwei Tagen mit einer Wahrscheinlichkeit von 68% wieder schön. Wie groß sind die Übergangswahrscheinlichkeiten auf dieser Insel?
Meine Ideen:
also ich muss eine Matrix quadrieren und mit einem Vektor multipliziert muss ich dann auf 0,68 kommen. Außerdem weiß ich, dass die jeweils zwei Wahrscheinlichkeiten gleich sein müssen, aber wie komme ich auf die 68%?
1 Antwort
p(s|s) sei die Wahrscheinlichkeit , dass es morgen regnet, wenn es heute geregnet hat, usw. Dann ist
p(s|s)^2 + p(s|r) * p(r|s) = 0,68, und wegen p(s|r) = p(r|s) ist
p(s|s)^2 + p(s|r)^2 = 0,68. Außerdem ist
p(s|s) + p(r|s) = 1 logischerweise, denn es muss ja regnen und die Sonne scheinen, umgedreht gilt also
p(s|s) + p(s|r) = 1, also (s|r) = 1 - p(s|s).
Oben eingesetzt ergibt sich
p(s|s)^2 + (1-p(s|r))^2 = 0,68, und diese quadratische Gleichung hat einmal die Lösung
p(s|s) = 0,2, also dann p(s|r) = p(r|s) = 0,8 oder
p(s|s) = 0,8 und dann p(s|r) = p(r|s) = 0,2
Beide Lösungen erfüllen die geforderten Werte.