Hi kann mir jemand bei dieser Matheaufgabe helfen?
Robinson hat festgestellt,dass auf seiner Insel folgende wetterregeln gelten:
1)Ist es heute schön ist es morgen mit 80% Wahrscheinlichkeit auch schön.
2)Ist heute schlechtes Wetter so ist morgen mit 75% Wahrscheinlichkeit auch schlechtes Wetter.
a) heute (Montag) scheint die Sonne. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann Robinson Mittwoch mit schönem Wetter rechnen?
b) Heute ist Dienstag und es ist schön, mit welcher Wahrscheinlichkeit regnet es am Freitag?
Danke schon mal im voraus
LG
2 Antworten
Ich bezeichne mit (X_t) eine Folge von binären Zufallsvariablen (ein "stochastischer Prozess"), wobei X_t = 1 gilt, falls das Wetter zum Zeitpunkt t schön ist, andernfalls ist X_t = 0. Nun ist wichtig zu erkennen, dass es sich um einen stationären Prozess handelt, d.h. die Wahrscheinlichkeiten, dass das Wetter am nächsten Tag gut oder schlecht wird, hängt zwar vom Wetter des vorherigen Tages, nicht aber von der Zeit selbst ab. Daher können wir auch eine konstante Matrix M betrachten, die eben diese Wahrscheinlichkeiten enthält.
Nun ist zunächst mal angegeben, dass
und damit auch
Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit
Diese können wir umschreiben gemäß
Nun beachte allerdings, dass, falls X_{t+1} gegeben ist, X_{t+2} und X_t stochastisch unabhängig sind. In Formeln bedeutet diese bedingte Unabhängigkeit, dass
gelten muss. Wenn du dies nun in die obige Formel einsetzt und außerdem verwendest, dass
gilt, erhältst du schließlich die einfache Formel
wobei ich hier die Übergangsmatrix
eingeführt habe. In Zahlen ergibt sich also
bzw. eine Wahrscheinlichkeit von 69%, dass das Wetter am Mittwoch schön wird, wenn es bereits am Montag schön war.
Analog gehst du bei Teilaufgabe b) vor.
Das ist jetzt etwas unglücklich, dass die Plattform meine Formatierung zerstört hat. Die Bilder, die eigentlich im Text als Formeln erscheinen sollten, befinden sich im Anhang dieser Antwort und sind an den jeweiligen Stellen einzufügen.
Aber um das nochmals in aller Deutlichkeit zu sagen: die gesuchte Wahrscheinlichkeit bei Teil a) ist 69%.
a)
0,8 * 0,8 = 0,64
Am Mittwoch (2 Tage später) kann er also mit 64 % Wahrscheinlichkeit mit schönem Wetter rechnen.
b) Wir müssen wieder Regel 1) bemühen, da Regel 2) nicht zutrifft.
Bis Freitag sind 3 Tage, also ist es mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,8^3 = 0,51 auch schön. Das heißt im Umkehrschluss, dass es auch mit 50% Wahrscheinlichkeit regnet.
