Reelle Zahlen haben unendlich viele Nachkommastellen?
Stimmt das?
5 Antworten
So absolut kann man das nicht sagen.
Wahr ist, dass die meisten reellen Zahlen unendlich viele Nachkommastellen haben. Die reellen Zahlen wurden jedoch eingeführt, weil das Wurzelziehen nicht mehr an allen Stellen endliche Zahlen erzeugte.
Bestimmte Untermengen von ℝ, die du schon vorher kanntest, haben durchaus Elemente mit einer begrenzten Anzahl von Nachkommastellen, die ganzen Zahlen sogar gar keine.
Ja, das ist eine lustige Sache. In der Mathematik kann man sich viel zurecht definieren, z.B. eine unendliche Anzahl von Nachkommastellen, wenn man nachfolgende Nullen zulässt.
Eine andere Sache ist die Darstellung der 1, die plötzlich zur Zahl mit unendlich vielen periodischen Nachkommastellen wird, wenn man sie so schreibt:
_
0,9
Das ist vom Wert her nämlich auch gleich 1.
Nein. Auch 1/1 ist eine Reelle Zahl. 1 hat gar keine Nachkommastellen.
Reelle Zahlen können aber endlos viele Nachkommastellen haben. 1/3 ist auch eine Reelle Zahl und hat endlos viele Nachkommastellen. 0,3333333....usw.
Danke! Also: Sie können, müssen aber nicht, weil Reelle Zahlen alle Zahlen umfasst, also auch die natürlichen, richtig?
Ja, genau. Alle rationalen und alle irrationalen Zahlen zusammen sind die reelen Zahlen. Sie können, aber müssen nicht, endlos viele Nachkommastellen haben.
Pi (aus einer anderen Antwort) ist eine irrationale Zahl und somit automatisch auch eine reelle Zahl. Sie hat endlos viele Nachkommastellen.
1 ist eine rationale Zahl und somit automatisch auch eine reelle Zahl. Sie hat gar keine Nachkommastellen.
So allgemein kann man das NICHT sagen!
Z.B. die Zahl 1 hat KEINE Nachkommastelle, ist aber eine reelle Zahl ;-)
Klar, ist doch logisch :)
Pi hat auch unendlich viele Dezimalstellen!
Die Zahl 1 hat KEINE Nachkommastelle, ist aber eine reelle Zahl ;-)
Ja, das stimmt.
Die Zahl 1 hat KEINE Nachkommastelle, ist aber eine reelle Zahl ;-)
Es gibt auch die Konvention, alle Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen zu schreiben, von denen unendlich viele ungleich 0 sind.
Wenn eine Zahl am Ende eine Reihe von unendlich vielen Nullen hat, nimmt man die alternative Darstellung, wo man die letzte Stelle ungleich Null um 1 erniedrigt und dann Neunen folgen lässt.
Beispiel:
0.250000... = 0,249999...
Einzige Ausnahme ist die 0.
Der Vorteil hierbei ist, dass man für jede reelle Zahl genau eine Darstellung hat.
Stimmt, das ist in dem Zusammenhang erwähnenswert.
1/3 = 0,3333...
2/3 = 0,6666...
3/3 = 0,9999...
Es gilt aber auch, dass 3/3 = 1 ist.
0,9999... = 1,0000...
Im Grunde hat jede reelle Zahl unendlich viele Nachkommastellen, wie ich bereits im Kommentar zu Deiner anderen Frage schrieb. Du kannst die 2 auch als 2,00000... schreiben, also mit unendlich vielen Nullen hinter dem Komma. Der Unterschied zwischen rationalen und irrationalen Zahlen liegt nicht in der Zahl der Nachkommastellen, sondern darin, ob diese Nachkommastellen irgendwann ein sich immer wiederholendes Muster bilden (ob sie also periodisch werden) oder nicht. Jede Zahl, deren Nachkommastellen periodisch werden, läßt sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen.
Herzliche Grüße,
Willy