Frage von adoreocean, 39

Reelle Zahlen haben unendlich viele Nachkommastellen?

Stimmt das?

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 39

So absolut kann man das nicht sagen.
Wahr ist, dass die meisten reellen Zahlen unendlich viele Nachkommastellen haben. Die reellen Zahlen wurden jedoch eingeführt, weil das Wurzelziehen nicht mehr an allen Stellen endliche Zahlen erzeugte.
Bestimmte Untermengen von ℝ, die du schon vorher kanntest, haben durchaus Elemente mit einer begrenzten Anzahl von Nachkommastellen, die ganzen Zahlen sogar gar keine.

Kommentar von Willy1729 ,

Im Grunde hat jede reelle Zahl unendlich viele Nachkommastellen, wie ich bereits im Kommentar zu Deiner anderen Frage schrieb. Du kannst die 2 auch als 2,00000... schreiben, also mit unendlich vielen Nullen hinter dem Komma. Der Unterschied zwischen rationalen und irrationalen Zahlen liegt nicht in der Zahl der Nachkommastellen, sondern darin, ob diese Nachkommastellen irgendwann ein sich immer wiederholendes Muster bilden (ob sie also periodisch werden) oder nicht. Jede Zahl, deren Nachkommastellen periodisch werden, läßt sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Volens ,

Ja, das ist eine lustige Sache. In der Mathematik kann man sich viel zurecht definieren, z.B. eine unendliche Anzahl von Nachkommastellen, wenn man nachfolgende Nullen zulässt.
Eine andere Sache ist die Darstellung der 1, die plötzlich zur Zahl mit unendlich vielen periodischen Nachkommastellen wird, wenn man sie so schreibt:
   _
0,9

Das ist vom Wert her nämlich auch gleich 1.

Antwort
von Panazee, 35

Nein. Auch 1/1 ist eine Reelle Zahl. 1 hat gar keine Nachkommastellen.

Reelle Zahlen können aber endlos viele Nachkommastellen haben. 1/3 ist auch eine Reelle Zahl und hat endlos viele Nachkommastellen. 0,3333333....usw.


Kommentar von adoreocean ,

Danke! Also: Sie können, müssen aber nicht, weil Reelle Zahlen alle Zahlen umfasst, also auch die natürlichen, richtig?

Kommentar von Panazee ,

Ja, genau. Alle rationalen und alle irrationalen Zahlen zusammen sind die reelen Zahlen. Sie können, aber müssen nicht, endlos viele Nachkommastellen haben.

Pi (aus einer anderen Antwort) ist eine irrationale Zahl und somit automatisch auch eine reelle Zahl. Sie hat endlos viele Nachkommastellen.

1 ist eine rationale Zahl und somit automatisch auch eine reelle Zahl. Sie hat gar keine Nachkommastellen.

Antwort
von Rubezahl2000, 16

So allgemein kann man das NICHT sagen!

Z.B. die Zahl 1 hat KEINE Nachkommastelle, ist aber eine reelle Zahl ;-)

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathe, 25

Ja, das stimmt.

Kommentar von Rubezahl2000 ,

Die Zahl 1 hat KEINE Nachkommastelle, ist aber eine reelle Zahl ;-)

Kommentar von Suboptimierer ,

Man schreibt sie nur nicht hin. 1,00000000...

Kommentar von PWolff ,

Es gibt auch die Konvention, alle Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen zu schreiben, von denen unendlich viele ungleich 0 sind.

Wenn eine Zahl am Ende eine Reihe von unendlich vielen Nullen hat, nimmt man die alternative Darstellung, wo man die letzte Stelle ungleich Null um 1 erniedrigt und dann Neunen folgen lässt.

Beispiel:

0.250000... = 0,249999...

Einzige Ausnahme ist die 0.

Der Vorteil hierbei ist, dass man für jede reelle Zahl genau eine Darstellung hat.

Kommentar von Suboptimierer ,

Stimmt, das ist in dem Zusammenhang erwähnenswert.

1/3 = 0,3333...
2/3 = 0,6666...
3/3 = 0,9999...

Es gilt aber auch, dass 3/3 = 1 ist.

0,9999... = 1,0000...

Antwort
von ChakuzaBF, 24

Klar, ist doch logisch :)

Pi hat auch unendlich viele Dezimalstellen!

Kommentar von Rubezahl2000 ,

Die Zahl 1 hat KEINE Nachkommastelle, ist aber eine reelle Zahl ;-)

Antwort
von Roderic, 2

Nein.

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