Rechnen mit Sinus und zwei Variablen
Hi Leute,
ich verzweifle fast daran folgenden Term nach a umzustellen (kein Hausaufgabe, aus eigenem Interesse):
x = sin(a) + sin(a + b)Eigentlich sieht die Gleichung so aus:
x = q * sin(a) + w * sin(a + b) + e * sin(a + b + c)Aber es wäre schon mal ein Fortschritt die obere zu lösen :)
Danke im voraus, Marvin
6 Antworten
du benötigst die Formel sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b). Danach taucht in deinem Ausdruck aber cos(b) auf. cos(b) kannst du wie in https://de.wikipedia.org/wiki/Trigonometrische_Funktion#Beziehungen_zwischen_den_Funktionen angegeben durch cos(a) = wurzel(1-sin(a) sin(a) ) ersetzen. Der Rest ist eklige Umformerei. Du musst eine Gleichung A sin^2(a) + B sin(a) + C = 0 erzeugen und daraus sin(a) berechnen. sin(a) ist quasi eine Unbekannte. a ist dann der arcsin dieser Unbekannten. Da du eine quadratische Gleichung lösen musst, wirst du zwei Lösungen für diese Unbekannte erhalten. Der arcsin ist ebenfalls mehrdeutig und du musst für ein gegebenes Paar x und b die Lösung(en) aussortieren, die deine Ausgangsgleichung befriedigt. Dabei muss -2 <= x <= 2 gelten. Diese ganze Rechnerei ist ziemlich eklig ist aber sicher eine gute Übung. Ich würde das Ergebnis mit einem Rechner überprüfen.
x = sinα + sin(α + ß) = sinα + sinα cosß + cosα sinß =
sinα (1 + cosß) + cosα sinß
und mit x = k und sinα = x und 1 + cosß = c und sinß = s ist k ‒ cx = s cosα
oder (k ‒ cx)² = s² cos²α = s²(1 ‒ x²). Das ist eine quadr. Gl. für x.
1. Schritt: Summenformel anwenden, dann hast du
x = sinα + sin(α + ß) = sinα + sinα cosß + cosα sinß
2. Schritt: Benutze (sinα)² + (cosα)² = 1, also cosα = Wurzel (1- (sinα)²):
x = sinα + sinα cosß + sinß *Wurzel (1- (sinα)²)
3. Schritt: Umstellen, um die blöde Wurzel wegzubekommen:
x - sinα(1- cosß) = sinß *Wurzel (1- (sinα)²)
4. Schritt: Jetzt quadrieren
x² - 2 x sinα(1- cosß) + (sinα)²(1- cosß)² = (sinß)² (1- (sinα)²)
Übrig bleibt eine quadratische Gleichung in sinα.
Eine Umformung ist bei trigonometrischen Formeln nicht möglich.
Deine Aufgabe lautet so y=sin(a) + sin(a +b)
Aus dem Mathematik-Formelbuch Summen und Differenzen von trigonometrischen Termen
Sin(a) +sin(b) =2*sin((a+b/)2) * cos((a - b)/2)
bei dir sind a=a und b=a+b also 2 Winkel in rad (Winkel inBogenmaß)
Ein Mathematik-Formelbuch bekommst du in jeden Buchladen.Ein bekanntes
Buch ist der Kuchling.Alle deine Aufgaben müssen mit den Formeln in so einen Buch lösbar sein,sonst stimmt da was nicht.
Mit Formeln anwenden ist natürlich auch die Umstellung von Formeln eingeschlossen.
Für jede Unbekannte braucht man eine Formel,sonst ist die Aufgabe nicht lösbar.Also kann es passieren,dass man aus 2 Formeln eine machen muss.
Die Mathematik liefert allgemeine Lösungen,ist aber schnell am Ende,wenn es kompliziert wird.Dann setzt man Rechenanlagen ein.
Merke :Jede theoretische Rechnung weicht von der Wirklichkeit ab. Ist die Abweichung nur 10% oder weniger,so ist sie brauchbar.Exakte Ergebnisse erhält man im Normalfall nur durch Messungen.
Beispiel :Steuerung des Automotors.Dies ist ein Prozeßrechner,der programmiert ist.Mit ein paar mathematischen Formeln ist hier nichts zu machen.
Da frage ich mich doch, wozu?
Verständlich wäre, wenn du jetzt nach der Kurvendiskussion fragtest. Eine zweckmäßige Verwendung der Auflösung nach a kann ich mir gerade nicht vorstellen.
"Alle deine Aufgaben müssen mit den Formeln in so einen Buch lösbar sein,sonst stimmt da was nicht."
Das ist eine sehr optimistische Vorstellung von der Lösbarkeit von Aufgaben in der Wirklichkeit. Es gibt beliebig viele Aufgaben, die nicht einfach per Formel lösbar sind - nur während der Schulzeit begegnet man ihnen kaum. Aber die Welt ist leider ganz anders.