rationale Funktion konstruieren?
Hallo, meine Aufgabe ist es eine nicht konstante rationale Funktion r : R → R mit 2 ≤ r(x) ≤ 3 für alle x ∈ R zu konstruieren. Ich weiß leider überhaupt nicht wie man so etwas an geht, hat jemand vielleicht eine Idee?
3 Antworten
f(x) = 1/2 sin x + 2,5
Eine beschränkte gebrochen-rationale Funktion darf im Nenner keine (hebbare) Nullstelle haben, denn sonst hat sie eine Polstelle. Also kommen im Nenner nur quadratische Faktoren ohne reelle Nullstelle in Betracht. Das sind genau die der Form (x−(a+i))(x−(a−i))=x²−2ax+a²+1 für a∊ℝ.
Der Zähler darf dann ein beliebiges Polynom sein, dessen Grad nicht höher als der des Nenners ist, denn sonst wäre die Funktion für x→±∞ nicht mehr beschränkt.
Der einfachste Fall einer beschränkten gebrochen-rationalen Funktion ist wohl 1/(x²+1) mit Wertebereich (0; 1]. Auf den gewünschten Bereich [2; 3] verschoben ergibt das:
- f(x) = 1/(x²+1) + 2
Etwas kniffliger wird es, wenn beide Grenzen erreicht werden sollen. x/(x²+1) ist ein guter Anfang: Diese Funktion pendelt in [−1/2; 1/2], und das muss man nur noch um 2,5 nach oben schieben:
- g(x) = x/(x²+1) + 2,5
Spiele einfach etwas mit WolframAlpha herum, dann bekommst Du ein Gefühl dafür.
Danke für die Antwort, gibt es dann nicht theoretisch mehrere Lösungen weil z.B 0,5 x/(x²+1) + 2,5 würde doch eigentlich auch gehen, da es ja kleiner als 2 und 3 ist ( auch wenn deine Lösung natürlich präziser ist, mir gehts nur ums Verständnis)?
Klar gibt es viele Lösungen: Selbst wenn der Wertebereich ganz abgedeckt werden muss (was so nicht in der Aufgabe steht), hast Du bei den Polynomen noch viel Auswahl, und jede Lösung kann man auch in x und y-Richtung spiegeln und in x-Richtung verschieben und strecken.
Und wenn der Wertebereich auch weniger als [2; 3] sein darf, kann man jede Lösung auch in y-Richtung beliebig stauchen.
Kann man da eigentlich auch z.B wolfram draufkommen, weil wir sollen auch Begründungen angeben und es eigentlich ohne Software machen?
Die allgemeinen Bedingungen für Beschränktheit habe ich ja schon in der Antwort skizziert (nur der Teil „genau die Form x²−2ax+a²+1“ stimmt so nicht ganz). Damit solltest Du folgende Fragen beantworten können:
- Welche Bedingungen gelten für den Nenner (und warum)?
- Welche Bedingungen gelten für den Zähler (und warum)?
Mach Dir das ganz ausführlich klar, denn da steckt so einiges an Theorie dahinter. WolframAlpha (oder jedes andere Programm zum Plotten) kann Dir allerdings dabei helfen, das alles besser zu verstehen.
Mit diesen Erkenntnissen kannst Du nun irgendeine beschränkte Beispiel-Funktion konstruieren, und soweit ist die Aufgabe auch pädagogisch sinnvoll. Das Ätzende an der Aufgabe ist aber, dass sie einen ganz konkreten Bereich vorgibt. Und dazu musst Du den Wertebereich Deiner Beispiel-Funktion berechnen oder zumindest abschätzen, d.h. Hoch- und Tiefpunkte und die Grenzwerte für x→±∞ bestimmen. Hier zahlt es sich aus, das Beispiel so einfach wie möglich zu halten, denn sonst rechnest Du Dich dumm und dusslig.
Ich denke, dass Du keine einfacheres Beispiel als 1/(x²+1) finden wirst.
Danke für die Antwort hat mir wirklich gut geholfen.
und deswegen hast du sie ja mit dem Stern ausgezeichnet . War ganz schön schwer , so ein Klick , oder ?
Die Software nutzt man wie einen Schmierzettel , wo man sich ausprobiert . Als Begründung kann man natürlich nicht "Weil Wolfram .............." hinschreiben
Tipp: Versuche erst eine Rationale Funktion zu finden, die keine Polstelle hat, und die gegen 0 geht, wenn x gegen unendlich bzw -unendlich geht.
Passe die Funktion dann durch verschieben und strecken so an, sodass sie die genannte Eigenschaften erfüllt.
Das ist keine rationale Funktion.