Pyramidenstumpf als Feuerlöschbecken?
Ich muss in Mathe eine Aufgabe lösen, die wie folgt lautet:
Ein künstlich angelegtes Feuerlöschbecken hat eine Länge von 10 m.
Der Querschnitt ist ein gleichschenkliges Trapez. Die zwei trapezförmigen Seitenflächen stehen senkrecht auf der rechteckigen Grundfläche des Teiches (siehe Skizze).
Obere Kante= 8m
untere Kante=4m
und die höhe= 2m
- 5.1 Das gesamte Becken muss mit einem Schutzanstrich versehen werden. Berechnen Sie den Inhalt der zu streichenden Fläche.
- 5.2 Das Feuerlöschbecken wurde bis zum Rand mit Wasser gefüllt.
- Ermitteln Sie die Wassermenge, die bei einem Einsatz zur Verfügung steht.
- 5.3 Nach einem Einsatz ist der Wasserstand bei einem Meter angelangt. Welche Wassermenge wurde verbraucht?
- 5.4 Ermitteln Sie die Höhe des Wasserstandes, wenn genau die Hälfte der Wassermenge aus Aufgabe 5.2 verbraucht wurde.
Bei Aufgabe 1 habe ich 120,57m^2 raus und bei Aufgabe 2 habe ich 117712,36l raus.
Ich habe schon Lösungsansätze bei den beiden raus, aber die ergeben keinen Sinn, da bei 5. 1m rauskommen würde, was der selbe Wasserstand wie in Aufgabe 4 wäre. Ergibt demnach keinen Sinn für mich. Wäre schön, wenn sich jemand daran probieren würde.
LG Lisa
3 Antworten
Die Form des Körpers ist kein Pyramidenstumpf, sondern ein Prisma, da zwei gegenüberliegende Seiten senkrecht zur Grundfläche stehen und damit parallel liegen.
Gegeben sind …
c = 8 m, a = 4 m, h = 2 m, b = 10 m
5.1
Wenn (die) zwei trapezförmige(n) Seitenflächen senkrecht auf der Grundfläche G stehen, müssen die beiden anderen Seitenflächen rechteckig sein.
Für G gilt …
G = a • b
= 4 m • 10 m = 40 m²
Die Fläche A₁ eines Trapezes ist …
A₁ = (a + c) / 2 • h
… hier also …
= (8 m + 4 m) / 2 • 2 m = 12 m²
Eine Seite der rechteckigen Fläche A₂ fehlt noch, nämlich die „Schräge“ des Trapezes. Sie lässt sich berechnen mit dem Satz des Pythagoras mit der Höhe h und dem „Überhang“ des Trapezes. Damit gilt für die Fläche …
A₂ = b • √[(a - c)² / 4 + h²]
= 10 m • √8 m = 20 √2 m²
Die gesamte Fläche A beträgt …
A = G + 2 (A₁ + A₂)
= 40 m² + 2 (12 + 20 √2) m² = 120,57 m²
Es sind 120,57 m² Fläche zu streichen.
5.2
Dieser Körper ist ein (auf die Seite gelegtes) Prisma mit trapezförmiger Grundfläche A₁. Das Volumen V eines Prismas ist das Produkt aus Grundfläche und Höhe, hier …
V = A₁ • b
= 12 m² • 10 m = 120 m³ = 120.000 l
Der Teich fasst 120.000 l Wasser.
5.3
Die aus dem Wasser ragende Fläche A des Trapezes ist nur noch halb zu sehen, wenn das Wasser mit einem Meter um die Hälfte gesunken ist. Die Wasserlinie steht also auf der mittleren Breite m des Trapezes …
m = (8 m + 4 m) / 2 = 6 m
Für das „leere“ Volumen V gilt also …
V = [(m + c) / 2 • (h / 2)] • b
= 7 m • 1 m • 10 m = 70 m³
Bei einem Meter Restpegel wurden 70.000 Liter Wasser verbraucht.
5.4
… überlege ich mir noch.
Weiter geht es.
5.4
Gesucht ist die Höhe h bei einem Volumen von V = 60 m³.
Problem:
Bei geänderter Höhe h ändert sich auch die vom Wasser bedeckte Fläche des Trapezes und damit die Länge von dessen Oberseite c. Es ist also nötig, c „irgendwie“ zu ersetzen.
Lösung:
Was die Oberseite c des gleichschenkligen Trapezes länger ist als die Unterseite a, wird als Verhältnis zu h dargestellt. Es gilt …
c = a + 2h
… eingesetzt in die Volumenformel …
V = A₁ • b
= (a + a + 2h) / 2 • h • b = (a + h) • h • b = bh² + abh
… und nullgestellt …
h² + ah - V / b = 0
Nun findet die pq-Formel Anwendung mit p = a und q = (-V / b) …
h = (-a) / 2 ± √(a² / 4 + V / b)
= (-2) m ± √(4 m² + 6 m²)
Für eine Höhenangabe ist nur der positive Wert sinnvoll, also ist …
h = 1,16 m
Nach Verbrauch des halben Volumens steht das Wasser noch 1,16 m hoch.
es ist kein Pyramidenstumpf, sondern ein Prisma
5.1 ist richtig
5.2 V=1/2*(8+4)*2*10 =120 m³ (120000 l)
5.3 bei einem Wasserstand von 1 m ist die obere Breite 6
das verbleibende Volumen ist dann V2= 1/2*(6+4)*10 = 50 m³
verbraucht wurden also 120 m³ - 50 m³ = 70 m³
5.4
V = 60 m³
die Dreiecke links und rechts des Trapezes sind rechtwinklig gleichschenklig, damit ist bei einer Höhe von h ist die obere Seite des Trapezes 4+2h
1/2 * ((4+2h)+4) *h *10 =60
h² +4h -6 =0
h=1.16 zweite Lösung ist negativ und als Höhe uninteressant
bei einer Höhe von 1.16 m ist die halbe Wassermenge enthalten
das sind nur die beiden Seitenwände und der Boden, die beiden Trapezflächen nicht vergessen
ohne deine skizze braucht es zuviel Zeit alles zu finden ......................rein damit , wenn du noch fragen hast.
Bei deiner Skizze kommt für die schräge Seitenfläche eine Länge von 2,82843 m raus. Deshalb ist die Anstrichfläche A= (2*2,82843 m +4 m) * 10 m = 96,56854 m^2 und nicht 120,57 m^2.