PQ Formel hat negative Wurzel?
Moin, habe hier in meinem Mathebuch die Formel -x^4 - x^2 + 20 = 0 Durch Substitution also u = x^2 : -u^2 - u + 20 = 0
In den Lösungen steht x1 = 2 und x2 = -2 Zwischenschritte sind nicht angegeben..
Habe die PQ Formel und ABC Formel benutzt, bei beiden kommt wegen der "20" ein negatives Ergebnis in der Wurzel raus und somit soll die Gleichung anscheinend keine Lösung haben.
Ist nicht die einzige Aufgabe dieser Art, die ich aufgrund der negativen Wurzel nicht schaffe.
Gibt es da noch irgendeinen anderen Weg oder habe ich einfach einen Fehler gemacht?
6 Antworten
Wenn man die Gleichung umformt, ergibt sich:
-(u²+u)=-20 /*(-1)
u²+u=20 /ausklammern von u
u(u+1)=20
und da man leicht erkennt, dass 4*5=20 ist, folgt daraus u =4
4=x²
x=+2 oder -2
da hast du dich möglicherweise nur verrechnet. Aus
u^2 + u - 20 = 0
macht die pq-Formel doch u = -1/2 +- wurzel(1/4 + 20)
also nix mit "negative Wurzel".
Funktioniert doch wunderbar:
-x⁴ - x² + 20 = 0
x⁴ + x² - 20 = 0
u := x²
u² + u - 20 = 0
Damit ist p = 1 und q = -20 und du kannst in die pq-Formel einsetzen:
u₁,₂ = -1/2 ± √(1/4 - (-20)) = -1/2 ± √(20,25) = -0,5 ± 4,5
Also ist u₁ = 4 und u₂ = -5.
Wenn du rücksubstituierst, also u wieder durch x² ersetzt, erhältst du:
x² = 4 ∨ x² = -5, also x = ±√4 ∨ x = ±√-5.
Dass die Wurzel aus -5 reell nicht definiert ist, ist klar, dann bleiben von den vier möglichen Lösungen eben noch zwei übrig, nämlich -√4 und √4, also -2 und 2.
Das sind deine beiden Nullstellen.
Wechsle doch erst mal diie Vorzeichen:
u^2 + u - 20 = 0
Dies lässt sich wunderbar faktorisieren:
(u + ...) * (u - ...) = 0
Für u gibt es eine positive und eine negative Lösung. Wegen u = x^2 (und x reell) kommt das negative u nicht in Frage. Aus der positiven Lösung für u ergeben sich zwei mögliche Lösungen für x .
-x⁴ - x² + 20 = 0 Substitution: z = x² Resubstitution: x = ±√z
-z² - z + 20 = 0 | /(-1) Normierung, sonst p,q nicht möglich
z² + z - 20 = 0 p = 1 q = -20
z₁,₂ = -0,5 ±√(0,25 + 20)
z₁,₂ = -0,5 ± 4,5
Da bleiben beim Resubstituieren immer noch zwei reelle x übrig, sogar ganzzahlige. Die kannst du dann nehmen.