Unterschied zur Substitution und Polynomdivision?
Es gibt beide Varianten, bei x^4 wird ja die Substitution verwendet, um schnell die Werte für die PQ Formel zu bekommen. Aber ab wann ist die Polynomdivision am besten, bei x^3, x^5 usw., bei x^3 wäre Ausklammern auch sinnvoll, somit gibt es drei Methoden, wann benutzt ihr welche und wo geben sie am meisten Sinn, danke im Voraus!!!!
4 Antworten
Das kommt auf die Funktion an. Hat man nur gerade Exponenten, kann man y=x² substituieren.
Beispiel: x^4-2x²+1=0 <=> y²-2y+1=0 mit y=x² <=> (y-1)²=0 <=> y=x²=1
<=> x=-1 oder x=1
Ausklammern kann man, wenn es eine niedrigste Potenz von x gibt, die größer als 0 ist.
Beispiel: x^5+x^4+x³=0 <=> x³(x²+x+1)=0
Polynomdivision wendet man an, wenn bei einem Polynom eine Nullstelle durch ausprobieren erraten werden kann. Dabei ist bei ganzzahligen Faktoren der Betrag der Nullstelle ein Teiler von ax^0.
Beispiel: x³+3x²+3x+1=(x+1)(x²+2x+1)=(x+1)³
Substitution ist nur möglich, wenn alle Exponenten einen gemeinsamen Teiler > 1 haben. Polynomdivision geht immer, man muss aber eine Nullstelle raten.
Es gibt extrem viele Methoden solche Gleichungen zu lösen.
Wenn ich bei einer Gleichung sehe das x = 1 eine Lösung ist oder eine andere ganzzahlige Lösung, dann nehme ich sie und mache weiter mit der Polynomdivision(ab Grad 3 selbstverständlich). Wenn ich sehe das die Hochzahl doppelt so groß ist wie die andere substituiere ich(auf Polynomegleichungen bezogen). Wenn die Grade größer werden und das alles andere nicht klappt, dann nehme ich das nummerische Verfahren.
Andere Möglichkeiten wäre bei einer gegebenen Nullstelle, der Koeffizientenvergleich.
Natürlich gibt es Gleichungen die man durch ausklammern lösen kann, so z.b
wenn substitution geht , dann nimmt man sie . P-Division ,wenn unbedingt nötig. Zum Bleistift bei
7x3 + 8x2 + 9x + 10 = 0
..............
bei x^3, x^5 usw., bei x^3 wäre Ausklammern auch sinnvoll
aber nur wenn kein Summand ohne x dabei ist !