Frage von DerMikeZ, 111

Polynomdivision mit dem Divisor größer als der Dividend?

Guten Abend,
habe gerade Übungen zur Polynomdivision gemacht und bin auf ein Beispiel gestoßen, bei dem der Divisor größer als der Dividend ist. Kann mir jemand sagen, wie man dabei vorgeht?

Beispiel:
(a^6-1):(a^2-a+1) =

Vielen Dank,
Mike

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Bo877, 66


Betrachte den Dividenden a^6 - 1 als ersten "Rest".

Der Summand dieses Restes mit der höchsten Potenz von a ist a^6.
Da a^6/(a^2) = a^4, ist der erste Summand des Quotienten a^4.
Berechne a^4·(a^2 - a + 1) = a^6 - a^5 + a^4
und subtrahiere dies vom letzten Rest.
-> neuer Rest: a^5 - a^4 - 1

Der Summand dieses Restes mit der höchsten Potenz von a ist a^5.
Da a^5/(a^2) = a^3, ist der nächste Summand des Quotienten a^3.
Berechne a^3·(a^2 - a + 1) = a^5 - a^4 + a^3
und subtrahiere dies vom letzten Rest.
-> neuer Rest: -a^3 - 1

Der Summand dieses Restes mit der höchsten Potenz von a ist -a^3.
Da -a^3/(a^2) = -a, ist der nächste Summand des Quotienten -a.
Berechne -a·(a^2 - a + 1) = -a^3 + a^2 - a
und subtrahiere dies vom letzten Rest.
-> neuer Rest: -a^2 + a - 1

Der Summand dieses Restes mit der höchsten Potenz von a ist -a^2.
Da -a^2/(a^2) = -1, ist der nächste Summand des Quotienten -1.
Berechne -1·(a^2 - a + 1) = -a^2 + a - 1
und subtrahiere dies vom letzten Rest.
-> neuer Rest: 0

Kein Rest -> Abbruch

Es ergibt sich somit :

a^4 + a^3 - a - 1




Kommentar von DerMikeZ ,

Vielen Dank!

Kommentar von Bo877 ,

Gerne :)

Kommentar von Volens ,

Ich habe es gegengerechnet, es stimmt. In der Kürze der Zeit sehr beeindruckend!
Es erschien mir aber auch wichtiger, erst einmal die Theorie dahinter abzuhandeln.

Kommentar von Bo877 ,

Danke :-) Hoffe doch, dass es stimmt. Am Ende des Tages bleiben die Theorien ja immer die selben. Lediglich die Aufgabenstellung wird komplexer. 

Ich finde es manchmal hilfreich, sich an basalen Grundlagen zu orientieren und diese nach "oben hin zu addieren", sozusagen aufzubauen. 


Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 45

Polynomdivision nimmt man gewöhnlich bei Nullstellenbestimmung. Hier ist das aber nicht relevant. Bei einer gebrochenen Funktion reicht es, den Zähler gleich Null zu setzen. Dann bekommst du die Nullstellen aus dem Zähler.
Du musst allerdings darauf achten, dass du keine Stellen erwischst, wo der Nenner 0 sein könnte, denn die wären ja nicht definiert.
Daher musst du im Zweifelsfall eine Polynomdivision mit dem Nenner allein machen, damit du erst einmal dessen Nullstellen (alles Polstellen für die Gesamtfunktion) herausbekommst.
Hier ist keine Poly nötig, der Nenner ist nur quadratisch.
Und warum eigentlich a und nicht x?
Sind das da nur Konstanten. Ist es gar keine Funktion?

Kommentar von DerMikeZ ,

Es ist keine Funktion. Es geht lediglich um die Polynomdivision. Man muss keine Nullstellen bestimmen.

Kommentar von Volens ,

Aber der Nenner ist nur a², der Zähler a⁶.
Da kannst du doch fröhlich divieren. Ganz am Ende wirst du aber voraussichtlich einen Rest n/(a^2-a+1) behalten. Es sei denn, du hast viel Glück!

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