Polygon - Durchlaufrichtung (Kreuzprodukt) - Fläche berechnen?
Guten Tag liebe Gemeinde,
ich bin gerade an der Berechnung des Flächeninhaltes eines Polygons mit Hilfe des Kreuzproduktes. Um genau zu sein, geht es hierbei um dieses Polygon.
Es handelt sich hierbei um Vektoren aus dem R^2. Laut Beschreibung ist das Kreuzprodukt im R^2 ein Skalar, welcher den Betrag des Flächeninhaltes angibt. Nun soll ich ebenfalls die Durchlaufrichtung beachten, also erst einmal von A - F und anschließend von F-A. Laut der Berechnung des Kreuzproduktes bewirkt die Vertauschung der Vektoren ein Vorzeichenwechsel. Nur stellt sich mir die Frage, wie ich diesen Flächeninhalt mit Hilfe des Kreuzproduktes berechnen kann. Kann mir bitte jemand einen Denkanstoß geben?
Liebe Grüße
3 Antworten
F (7│1)
E (4│5)
D (10│3)
C (8│7)
B (3│8)
A (1│1)
F (7│1)
E (4│5)
mittels Kreuzprodukt
A = (½) * (4 * 3 – 10 * 5 + 10 * 7 – 8 * 3 + 8 * 8 – 3 * 7 + 3 * 1 – 1 * 8 + 1 * 1 – 7 * 1 + 7 * 5 – 4 * 1)
A = (½) * (12 – 50 + 70 – 24 + 64 – 21 + 3 – 8 + 1 – 7 + 35 – 4)
A = 35,5 FE
oder etwas abgewandelt und zusammengefasst:
A = (½) * [x_i * (y_i+1 – y_i-1)]
A = (½) * (7 * (5 - 1) + (4 * (3 - 1) + 10 * (7 - 5) + 8 * (8 - 3) + 3 * (1 - 7) + 1 * (1 - 8))
A = (½) * (28 + 8 + 20 + 40 – 18 – 7)
A = 35,5 FE
Ändert man die Laufrichtung der Punkte, so ändert sich das Vorzeichen bei der Fläche.
Vorab:
- Mit dem Kreuzprodukt berechnest Du die orientierte Fläche eines Parallelogramms. Für eine Dreiecksfläche musst Du das Ergebnis halbieren.
- Du kannst die Fläche eines Polygons in Dreiecke zerlegen, die alle eine gemeinsame Ecke (z.B. A) haben. Die gegenüberliegende Seite ist eine Kante des Polygons (wobei Du die beiden Kanten, die an die gemeinsame Ecke grenzen, ignorieren darfst).
- Bei konvexen Polygonen ist das sehr anschaulich, aber es funktioniert auch bei nicht-konvexen, wenn Du die orientierte Fläche nimmst. Die wird bei "rückläufigen" Kanten negativ. Erst bei überschlagenen Polygonen (z.B. beim Pentagramm) geht's nicht mehr so einfach.
Das heißt für Dich einfach:
F = ( AF×AE + AE×AD + AD×AC + AC×AB ) / 2
Beim Dreieck AED wird die Fläche negativ, aber das entspricht genau der Fläche, die bei ADC und ACB zuviel gerechnet wird.
Für Fortgeschrittene:
Die Dreieckszerlegung klappt auch dann, wenn die gemeinsame Ecke nicht zum Polygon gehört. Dann brauchst Du aber alle Kanten des Polygons (also 2 mehr als oben).
Nimm zum Beispiel den Punkt Q und schaue Dir die 5 Flächen von QAF, QFE, ..., QCB im Bild an. Die Summe ergibt etwas mehr als die Polygonfläche, aber das 6. Dreieck QBA ist falsch orientiert und zieht genau diese Extrafläche wieder ab.
Wenn das Polygon durch die Koordinaten seiner Ecken gegeben ist, ist der Ursprung als gemeinsame Ecke die beste Wahl: die Formel für das Kreuzprodukt wird damit recht simpel.
35,5 FE^2
Das ist doppelt gemoppelt. Schreibe Flächeneinheiten entweder als FE oder LE².
Hierbei sieht man, dass die orientierung jeweils ihr Vorzeichen ändert.
Das ist ziemlich knapp gehalten. Du solltest wenigstens noch erwähnen, dass der Betrag gleich bleibt.
welche der Punkte Q,P oder R innerhalb bzw. außerhalb der Polygonfläche liegen?
Darauf habe ich keine fertige Antwort; nur eine Idee: Berechne die (orientierten) Winkel von P zu jeder Polygonseite. Liegt P innen, wird die Winkelsumme einen Vollkreis ergeben. Liegt P außen, ist die Summe 0.
Bei einem konvexen Polygon ist das anschaulich klar. Für nicht-konvexe Polygone müsste man das aber erst noch beweisen.
Also, wenn du diesen Flächeninhalt mittels Kreuzprodukt berechnen willst, musst du den Polygonzug in einzelne Parallelogramme aufteilen, denn das Kreuzprodukt liefert dir lediglich die Fläche des von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms.
Die Aufteilung der Figur in einzelne Parallelogramme erscheint mit aber eine unsinnige Art und Weise zu sein zur Lösung dieser Aufgabe.
Vielen Dank für Deine Antwort. Ich habe es versucht wie in der Aufgabe beschrieben wurde (nach Deinen Vorgaben) zu machen. Dabei hieß es - "Die Fläche des Polygons; und zwar in Durchlaufrichtung A -> F und dann entgegengesetzt F -> A; was fällt ihnen auf(Kreuzprodukt verwenden).
Dabei schrieb ich auf für
A->F
(ABxAC + ACxAD + ADxAE + AExAF)/2 = -35,5 FE^2
F->A
(FExFD + FDxFC + FCxFB + FBxFA) / 2 = 35,5 FE^2
Hierbei sieht man, dass die orientierung jeweils ihr Vorzeichen ändert. Kann man es so annehmen?
Ich habe desweiteren eine weitere Frage: Wie kann ich mit Hilfe der Winkelsumme aus dem Kreuzprodukt , welche der Punkte Q,P oder R innerhalb bzw. außerhalb der Polygonfläche liegen?
Liebe Grüße und vielen Dank für jegliche Hilfe :)