Optimierungsaufgabe Dose?
Hallo, ich habe folgende Aufgabe:
Konservendosen mit dem gleichen Fassungsvermögen sind oft genormt, das heißt sie haben unabhängig von der Füllung die gleiche Form. Ermittle die im Materialverbrauch günstigste Form einer 425-ml-Dose.
das heißt ja 425=pir²h... wie kriege ich nun aber eine Funktion in Abhängigkeit einer Variablen? bzw. die günstigste Form?
2 Antworten
Minimaler Materialverbrauch heißt, dass die Oberfläche der zylinderförmigen Dose minimal sein soll, es gilt also, dass
O (r, h) = 2 * pi * r^2 + 2 * pi * r * h
minimal sein soll, während das Volumen.
425 = pi * r^2 * h
gilt. Ich würde die Volumen-Formel nach r oder h umstellen, dann kriegst du z.B.
h = 425 / (pi * r^2)
in die Oberflächen-Formel diese Formel einsetzen (so dass du in der Oberflächenformel nur noch eine Variable hast) und dann das Minimum dieser Formel berechnen.
Ok danke, ich habe da dann ein X=4,07 cm bei einem Y=312,925 ml raus, ist das richtig? Nur etwas unhandlich dann :P
Hallo,
die Zielformel lautet:
f(r;h)=2πr²+2πrh (das ist die Funktion für die Oberfläche, für die ein Minimum gesucht wird, deren Ableitung also Null werden soll.
Die Nebenbedingung lautet:
πr²*h=425
Das lösen wir nach h auf und setzen dies dann in die Zielfunktion ein; so wird aus f(r;h) f(r):
h=425/(πr²)
f(r)=2πr²+2πr*(425/(πr²)=
2πr²+850/r
f'(r)=4πr-850/r²
f'(r)=0:
4πr=850/r² |*r²
4πr³=850
r³=850/(4π)=67,64
r=4,07 cm
h=425/(π*4,07²)=8,17 cm, was etwa dem Durchmesser entspricht und ohne die Rundungsfehler wohl genau dem Durchmesser entsprechen würde.
Herzliche Grüße,
Willy
Jedenfalls nichts über den Inhalt. Die Zielfunktion ist eine Kombination der Oberflächen- und der Volumenformel.
Möchtest Du das Volumen für r=4,07 und h=8,17 ermitteln, mußt Du die Formel πr²*h verwenden, also π*4,0,²*8,17=425,17.
Die Abweichung rührt von Rundungsfehlern her.
Herzliche Grüße,
Willy
ich habe da dann ein X=4,07 cm bei einem Y=312,925 ml raus, grafisch ermittelt... was sagt denn die 312 aus?