Frage von YANKOO, 84

Optimierungsaufgabe Dose?

Hallo, ich habe folgende Aufgabe:

Konservendosen mit dem gleichen Fassungsvermögen sind oft genormt, das heißt sie haben unabhängig von der Füllung die gleiche Form. Ermittle die im Materialverbrauch günstigste Form einer 425-ml-Dose.

das heißt ja 425=pih... wie kriege ich nun aber eine Funktion in Abhängigkeit einer Variablen? bzw. die günstigste Form?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 44

Hallo,

die Zielformel lautet:

f(r;h)=2πr²+2πrh (das ist die Funktion für die Oberfläche, für die ein Minimum gesucht wird, deren Ableitung also Null werden soll.

Die Nebenbedingung lautet:

πr²*h=425

Das lösen wir nach h auf und setzen dies dann in die Zielfunktion ein; so wird aus f(r;h) f(r):

h=425/(πr²)

f(r)=2πr²+2πr*(425/(πr²)=

2πr²+850/r

f'(r)=4πr-850/r²

f'(r)=0:

4πr=850/r² |*r²

4πr³=850

r³=850/(4π)=67,64

r=4,07 cm

h=425/(π*4,07²)=8,17 cm, was etwa dem Durchmesser entspricht und ohne die Rundungsfehler wohl genau dem Durchmesser entsprechen würde.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von YANKOO ,

ich habe da dann ein X=4,07 cm bei einem Y=312,925 ml raus, grafisch ermittelt... was sagt denn die 312 aus?

Kommentar von Willy1729 ,

Jedenfalls nichts über den Inhalt. Die Zielfunktion ist eine Kombination der Oberflächen- und der Volumenformel.

Möchtest Du das Volumen für r=4,07 und h=8,17 ermitteln, mußt Du die Formel πr²*h verwenden, also π*4,0,²*8,17=425,17. 
Die Abweichung rührt von Rundungsfehlern her.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von ceevee, 53

Minimaler Materialverbrauch heißt, dass die Oberfläche der zylinderförmigen Dose minimal sein soll, es gilt also, dass

O (r, h) = 2 * pi * r^2 + 2 * pi * r * h

minimal sein soll, während das Volumen.

425 = pi * r^2 * h

gilt. Ich würde die Volumen-Formel nach r oder h umstellen, dann kriegst du z.B.

h = 425 / (pi * r^2)

 in die Oberflächen-Formel diese Formel einsetzen (so dass du in der Oberflächenformel nur noch eine Variable hast) und dann das Minimum dieser Formel berechnen.

Kommentar von YANKOO ,

Ok danke, ich habe da dann ein X=4,07 cm bei einem Y=312,925 ml raus, ist das richtig? Nur etwas unhandlich dann :P

Antwort
von GanMar, 38

Schau mal http://www.wachtler.de/informatik_2/node31.html

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