Dritte Ableitung gleich null trotz Wendepunkt?
Hallo,
soweit ich weiß, muss bei einem Wendepunkt die zweite Ableitung gleich null sein, die dritte Ableitung jedoch nicht.
Hier ein Beispiel: f (x) = x^5 - 2x
f ' (x) = 5x^4 - 2
f '' (x) = 20x^3
f ''' (x) = 60x^2 ______________ f '' (x) = 0; x = 0
f ''' (x) = 0;
Trotzdem hat die Tangente am Wendepunkt eine Steigung von -2, da f ' (0) = -2, es ist also kein Terassenpunkt.
6 Antworten
f'' = 0 ist lediglich eine notwendige Bedingung für einen Wendepunkt.
Nun musst du solange weiter ableiten, bist du eine Ableitung ungleich 0 hast.
In diesem Fall f''''(x) = 120x => f''''(0) = 0 (also weiter im Text)
f'''''(x) = 120 > 0 für alle x, also auch f'''''(0) = 120 > 0 .
Ist diese erste von null verschiedene Ableitung eine mit ungerader Nummer (hier die fünfte, dann hast du einen Wendepunkt), ist sie eine mit gerader Nummer, dann ist es KEIN Wendepunkt.
p.s. Diese Überlegungen folgen direkt aus dem Satz von Taylor (mit Restgliedabschätzung nach Lagrange).
Vielen Dank, sehr verständlich erklärt und gleich noch einen Verweis auf den Satz von Taylor!
In diesem Fall (und vielen vergleichbaren) hilft folgende Überlegung:
- f'(x) (hat nur gerade Potenzen ⇒ ) ist eine gerade Funktion und daher achensymmetrisch zur y-Achse.
- Wie *alle bei x = 0 differenzierbaren und achsensymmetrischen Funktionen* hat f'(x) daher ein Extremum bei x = 0 (Warum? Hilfsfrage: Wenn der Differenzenquotient bei Näherung an x = 0 von links gegen a konvergiert, gegen was konvergiert er dann aufgrund der Symmetrie bei Näherung an x = 0 von rechts?)
- Die Wendepunkte von f(x) sind genau die Extrema von f'(x). Also hat f(x) einen Wendepunkt bei x = 0.
Da hier bisher keiner antwortet sage ich einfachmal was ich denke obwohl ich mir nicht sicher bin.
Du kannst gucken ob ein Vorzeichenwechsel vor und nach dem Wendepunkt stattfindet sollte dies der fall sein ist es doch ein Wendepunkt wenn nicht dann nicht.
Wenn 2 Ableitung 0 ist und dritte auch, kann es sein das dein Punkt ein Sattel bzw Terassenpunkt (so wie du es nennst) ist oder ein Extrempunkt ist.
Danke für die Antwort! Ein Terassenpunkt kann es schonmal nicht sein, da die erste Ableitung in dem Punkt nicht null ergibt, das heißt die Tangente an dem Punkt nicht waagerecht verläuft.
Bei der zweiten Ableitung findet ein Vorzeichenwechsel statt (also 20x^3, vor x=0 ist es negativ, danach gibt es positive Funktionswerte).
Ein Extrempunkt ist es nicht, da die erste Ableitung nicht null ergibt.
Hier siehst du noch einmal die Ausgangsfunktion:
wenn f ''' = 0 und dann eine ungerade Anzahl von "Strich" ungleich 0 ; dann hast du doch einen Wendepunkt; und f ''''' =120 also f hoch 5 strich ist ungleich 0
so kenne ich die Regel.
Es gibt einen Wendepunkt , schau noch mal genau nach !
Ich weiß, dass es dort einen Wendepunkt gibt! Ich wollte es nur rechnerisch bewiesen haben.