Integral Approximativ bestimmen programmieren?
Hey, ich habe folgende Aufgabe bearbeitet:
diese habe ich hinbekommen und alles funktioniert. Nun habe ich als nächstes die folgende Aufgabe:
Leider verstehe ich nicht so ganz was ich da machen soll. In unseren Folien steht leider auch gar nichts dazu. Kann mir da jemand weiterhelfen?
Wo ist genau das Problem? Die Funktion? Integration bis unendlich? Die Stützstellenwahl? Die Genauigkeit?
Die Stützstellenwahl und die Genauigkeit. Ich weiß leider nicht was damit gemeint ist bzw. wie ich das in mein Programm implementieren muss.
2 Antworten
Du musst natürlich ein endliches Integrationsintervall haben, sagen wir [0,a]. Für dieses kannst du Teil (a) verwenden und den Fehler abschätzen. Für den Rest [a, unendlich] muss du das Integral sonstwie nach oben abschätzen. Beide Abschätzungen zusammen dürfen nicht mehr als 10^(-8) machen.
Ich würde zunächst das Integral über [a, unendlich] abschätzen, vielleicht reicht es ganz grob mit exp(-x^2 /2) / (2 Pi) <= exp(-x /2) / (2 Pi), und damit ist das Integral nach oben durch exp(-a^2 /2) / (2 Pi) abgeschätzt.
Erste Idee wäre jetzt, a, so zu wählen, dass diese Abschätzung <= 1/2 10^(-8) wird.
Dann kann man sich aus Teil (a) bedienen und dort die Anzahl Streifen so wählen, dass der Fehler der Simpson-Regel auch <= 1/2 10^(-8) wird. Du hast ja einen Hinweis zur Anzahl Streifen.
Wahrscheinlich muss man beim a ein bisschen rumbrobieren, bis das dann passt.
Der Wert des Integrals ist übrigens 1/2.
Ich glaub ich hab die Variante nicht ganz verstanden aber bin selbst auf eine Idee gekommen... Was ist wenn ich beispielsweise zum Anfang das Intervall [0,1] nehme und es berechne. Im nächsten Schritt nehme ich dann das Intervall [0,1,1] und berechne das. Dies mach ich solange, bis das Ergebnis nicht mehr größer wird. Würde das funktionieren oder beachte ich da etwas nicht?
Für die Stützstellenwahl kann man eine Funktion ϕ einführen und dann anstatt von a nach b integrieren, dann von ϕ(a) nach ϕ(b). Bei hohen Werten für x kommt wegen Maschinenungenauigkeit sowieso irgendwann nur noch 0 raus. Und da macht es dann keinen Sinn weiter zu integrieren.
Für die Abschätzung des Fehlers für ein endliches Intervall gibt es Formeln. Die schon genannte Idee für die Abschätzung des Restintegrals das Quadrat in der Exponentialfunktion wegzulassen finde ich gut. Anstatt zu integrieren könnte man auch durch eine Summenformel abschätzen. Aber Integration von der Exponentialfunktion ist wahrscheinlich leichter. Die Funktion sollte ziemlich schneller kleiner als die vorgegebene Genauigkeit werden.
Die Idee mit der Abschätzung finde ich gut. Nur habe ich das am Anfang wohl nicht ganz verstanden. Wenn ich das jetzt richtig verstehe, ist genauer
gemeint?