unterschied zwischen offene- geschlossene und kompakte teilmenge?
Was genau ist denn der unterschied? bitte keine Wikipedia einträge, ich verstehe die wikepedia einträge null
1 Antwort
Eine geschlossene Teilmenge ist nach Definition das Komplement einer offenen Teilmenge. D.h. wenn (X, T) ein topologischer Raum ist, so ist eine Teilmenge M ⊆ X genau dann eine geschlossene Teilmenge, wenn X∖M eine offen ist, also wenn X∖M ∈ T ist.
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Eine kompakte Teilmenge ist nach Definion einer Teilmenge, bei der jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
Wenn es jedoch um Teilmengen des ℝⁿ geht, so nutzt man beispielsweise auch oft den Satz von Heine-Borel, wonach eine Teilmenge des ℝⁿ genau dann kompakt ist, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.
Für Hausdorff-Räume lässt sich auch allgemein sagen, dass jede kompakte Teilmenge auch immer eine abgeschlossene Teilmenge ist. Umgekehrt ist jedoch nicht jede abgeschlossene Menge auch eine kompakte Teilmenge.
Eine weit verbreitete Fehlvorstellung von Studenten, die das Thema noch nicht so richtig verstanden haben, ist, dass sie denken geschlossene Teilmengen wären genau diejenigen Teilmengen, die nicht offen sind.
Dies ist jedoch falsch. Beispielsweise ist die leere Menge immer eine Teilmenge, welche sowohl offen als auch abgeschlossen ist. Andererseits ist beispielsweise das halboffene Intervall [0, 1[ in den reellen Zahlen (bzgl. Standardtopologie) nicht offen und auch nicht abgeschlossen.
Beachte also, dass die abgeschlossenen Teilmengen nicht einfach die nicht-offenen Teilmengen sind.