Nullstellensatz Mathematik?
Sind hier die Klammern nicht falschrum gesetzt?
... mindestens eine Nullstelle xi Element [0,1]. Warum sind die eckigen Klammern hier offen?
3 Antworten
An sich ist die Schreibweise mit geschlossenen Klammern auch korrekt. Da hier aber die Stellen x = 0 und x = 1 bereits eingesetzt wurden und keine dieser beiden Stellen eine Nullstelle ist, kann man die Aussage verschärfen, indem man die Klammern umgekehrt (denn 0 und 1 sind sicher keine Nullstellen). Da in dem Satz (zweiten Bild) aber "echt kleiner Null" steht, hätte man auch dort die Klammern umkehren können am Ende des Satzes.
Nein, die Klammern passen. (Aber man könnte sie auch andersrum setzen. Das macht hier keinen wirklichen Unterschied.) Der Nullstellensatz besagt zwar, so wie er in „Satz 5.3“ formuliert ist, dass es eine Nullstelle in [a, b] (hier in [0, 1]) gibt.
ABER: h(0) = 1 ist positiv und h(1) ist negativ. Da also weder h(0) noch h(1) gleich 0 ist, kann man 0 und 1 als Nullstellen offensichtlich ausschließen.
Auch bei Satz 5.3 könnte man a und b ausschließen, da sonst f(a) ⋅ f(b) = 0 statt f(a) ⋅ f(b) < 0 sein müsste. Man könnte also auf mindestens eine Nullstelle in ]a, b[ schließen. (Aber wenn man eine Nullstelle in ]a, b[ hat, so liegt diese insbesondere auch in [a, b], weshalb der Satz natürlich nicht falsch ist. Man könnte nur eine noch etwas schärfere Folgerung treffen.)
Nein, das ist im Bild noch nicht gezeigt. Ich gehe davon aus, dass die Lösung danach (außerhalb des gezeigten Bildes) noch weitergeht.
Es ist ja bereits vorher argumentiert worden, dass die Differenzfunktion auf der einen Seite des Intervalls einen positiven, auf der anderen Seite einen negativen Wert annimmt; daher betrachtet man das offene Intervall…
die Frage zu Anfang lautet : Zeigen sie dass genau eine NSt . Ist das hier irgendwo gezeigt ?