Nullstellensatz von Bolzano (Beweiserklärung)?
Hallo,
Satz:
Ist die Funktion f: X→Y mit X⊂ℝ auf dem Intervall [a,b]⊂X stetig und haben f(a) und f(b) unterschiedliche Vorzeichen (f(a)<0 und f(b)>0 oder f(a)>0 und f(b)<0), so besitzt die Funktion mindestens eine Nullstelle in (a,b)
Beweis:
Hier der erste Teil, den ich verstehe:
Der Beweis, dass f(xi) nicht <0 sein kann, verstehe ich ledier nicht. Dort heißt es:
Was ist die Idee dieses Vorgehens, wie kann ich mir das vorstellen? LG
1 Antwort
Beweis das f(xi) nicht < 0 ist:
Hier wird ein Widerspruchsbeweis verwendet. Angenommen die Behauptung stimmt nicht, dann müssen wir auf einen Widerspruch stoßen. Somit war es falsch anzunehmen, dass die Behauptung nicht stimmt.
Also angenommen f(xi) < 0. Dann nimmt f(xi) einen Wert an, sagen wir -e mit e > 0. Nun benutzen wir, dass f stetig ist. Nach Definition gilt dann die Gleichung, die du auch aufgeschrieben hast. Jetzt kommen wir zum Widerspruch. Wenn wir f(xi + e) betrachten, erkennen wir: Es gilt: |f(xi + e) - f(xi)| = |f(xi + e) + e| = e/2. Somit muss f(xi + e) negativ sein. Somit liegt f(xi + e) in der Menge A (alle Punkte die durch f auf etwas negatives abgebildet werden). Aber nun ist sup(A) = xi + delta > xi, da delte >0.
Hoffe das hilft.
Der Schlüssel zum Verständnis war -f(xi) durch e zu ersetzen. LG