Nullstellenberechnung bei ganzrationalen Funktionen?
Hallo,
ich bin momentan in der Oberstufe und wir haben in Mathe ganzrationale Funktionen. Nun mache ich gerade Übungen zur Nullstellenberechnung für die nächste Klausur, komme aber bei zwei Aufgaben nicht mehr weiter. Auch ChatGPT kann mir nicht helfen.
Ich habe die Nullstellen bisher durch Faktorisieren bzw. Ausklammern bestimmt. Doch bei den beiden Aufgaben auf meinem Arbeitsblatt funktioniert das nicht. Wie geht man denn nun hier vor?
Vielen Dank!
2 Antworten
Es gibt im Prinzip eine Formel für kubischen Polynome (google mal Cardano-Formel). Die benutzt man aber nicht, weil sie viel zu unhandlich ist. Statt dessen versucht man im ersten Schritt, eine Nullstelle zu raten. Das geht unter bestimmten Bedingungen:
- vor der höchsten Potenz (hier x³) steht kein von 1 abweichender Koeffizient
- alle Koeffizienten sind ganzzahlig.
Ist das erfüllt, dann sind alle ganzzahligen Nullstellen Teiler des absoluten Gliedes und man muss nur testen, ob einer dieser Teiler eine Nullstelle ist. Beim Polynom
x³ - 6x² + 12x - 8
ist das absolute Glied -8, die Teiler sind 1, -1, 2, -2, 4, -4, 8, -8
Die prüft man einfach der Reihe nach durch. Hat man eine Nullstelle gefunden (hier ist z. B. 2³ - 6 * 2² + 12 * 2 - 8 = 0, also 2 ist die erste Nullstelle), dann führt man eine Polynomdivision durch:
(x³ - 6x² + 12x - 8 ) : (x-2) = ....
und erhält ein Polynom 2. Grades, dass man dann mit den bekannten Methoden lösen kann.
Findet man KEINE Nullstelle unter den Teilern, dann weiß man, dass das Polynom keine ganzzahligen Nullstellen (und auch keine rationalen Nullstellen, aber das ist ein eigenes Thema) hat. Dann braucht man eine andere Methode, oft wird das dann mit einem Näherungsverfahren gemacht.
Oft lohnt es sich, einfach mal zu schauen, ob durch scharfes Hinsehen etwas erreichen kann. Mit ein wenig Erfahrung (und dem Pascal'schen Dreieck) sieht man z. B., dass
x³ - 6x² + 12x - 8 = (x-2)³
gilt - und dann ist man ja praktisch schon fertig.
Tipp zum Raten der ersten Nullstelle: Versuche zuerst alle Teiler des konstanten Gliedes mit positiven und negativen Vorzeichen.
Beispiel 2. Teste x ∈ {-8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8 } (am besten in der Mitte beginnen, da in Aufgaben in der Schule die Hoffnung besteht, dass eine der Nullstellen nahe bei 0 ist). Treffer bei 2 (siehe Tabelle unten) . Also machst Du anschließend die Polynomdivision
Wenn Du ein besonderes Auge hast, erkennst Du aber den binomischen Lehrsatz für n=3 hier und kannst Dir das oben Gesagte alles sparen:
