Ganzrationale Funktionen - Nullstellen - ist das richtig?
Ist das richtig so?
5 Antworten
Nein, das ist falsch.
Für Polynome höher als 2. Grades (quadratische Gleichungen) gibt es mit wenigen Ausnahmen keine direkte Lösung wie z.B. mit der pq-Formel.
Da muss man anders vorgehen.
1) Graphische Lösung:
Man lässt die Funktion durch einen Funktionenplotter zeichen und liest die Nullstelllen einfach ab:
x1 = -4
x2 = 1
x3 = 3
2) Analytisch geht das so:
Man muss eine Nullstellle erraten, wobei sich fast immer eine der Nullstelllen im Bereich von -2 bis +2 befindet. Oft ist es 0 oder +/-1. Es gibt auch Näherungsverfahren, mit denen man die erste Nulllstelle rauskriegt. Das würde hier aber wohl zu weit führen.
Bei deiner Funktion:
f(x) = x^3- 13x + 12
Hier fallen vor allem die -13 und + 12 auf, es fehlen nur noch +1, damit das passt. Also testen wir die 1:
f(1) = 1^3 - 13 + 12 = 0
Damit haben wir die erste Nullstelle gefunden.
Nun machen wir eine Polynomdivision:
Nun haben wir eine quadratische Gleichung übrig, die wir mit der pq-Formel lösen können:
Damit haben wir alle Nullstellen gefunden:
x1 = 1
x2 = -4
x3 = 3
Die Lösung x=1 kann man so erkennen. Nun mußt du den Funktionsterm durch (x-1) dividieren. Dadurch erhältst du einen quadratischen Term.
Etwas einfacher ist in diesem Fall die Anwendung der Tatsache, dass eine ganzzahlige Lösung ein Teiler des konstanten Glieds (in diesem Fall 12) sein muß. In diesem Fall ergeben sich so als Lösungen die Zahlen 3 und -4 .
Es gilt prinzipiell Folgendes (Satz von Eisenstein):
Hat ein algebraischer Term T(x) = 1*x^n + a*x^(n-1) + ... + b*x + c nur ganzahlige Koeffizienten, dann sind die Lösungen der Gleichung T(x) = 0 entweder ganzzahlig oder irrational. Da in der Schule normalerweise die Lösungsformeln für die Gleichungen 3. oder 4. Grades nicht behandelt werden, kann man davon ausgehen, dass wenigstens eine Lösung einer Gleichung höheren als zweiten Grades ganzzahlig ist.
Also erkennt man das nicht direkt in der Funktionsgleichung?
Nein, aber es ist ein Weg unter bestimmten Voraussetzungen die Lösung auf einfache Art und Weise zu ermitteln. Ich ergänze noch ein wenig meine Antwort. Aber das wird ein paar Minuten dauern.
Nein, das ist falsch, denn 12 hoch 3 minus 12*13+12 ergibt nicht null. Bei hoch 3 funktioniert pq so nicht.
Die Lösung x=1 ist aber korrekt, diese sieht man so.
Für die anderen Lösungen sei x ungleich 1 m, dann können wir für die anderen Lösungen durch (x-1) teilen
(x hoch 3 -13x + 12) : (x-1)= x hoch 2 + x - 12
und das dann mit pq
ergibt 3 und -4
Nein.
PQ-Formel geht nur bei quadratischen Gleichungen. Du hast da was mit x³.
Ok, das macht Sinn. Welches Verfahren muss ich denn hier anwenden?
Ergebnisse einsetzen:
mit x = 1 in der Ausgangsfunktion erhältst du f(x) = 0
Bei x = 12 funktioniert das nicht.
Kannst du mir vielleicht kurz erläutern, wo genau ich sehen kann, dass die Lösung 1 stimmt?