Mit Quaternionen "fortgeschrittener" rechnen?
Hallo!
Ich lerne gerade Quaternionen, und ich bin auch relativ gut darin. Ich rätsele aber noch, wie ich mit ihnen "fortgeschrittener" rechnen kann. Also nicht sehr komplizierte Sachen. Sondern nur so Sachen wie den Logarithmus, Wurzeln, Potenzieren, Trigonometrie, usw.
Denn mit der normalen Form a+bi+cj+dk geht das denke ich nicht sehr leicht.
Wie rechnet man jetzt so etwas?
Danke!
2 Antworten
Leite dir dir Formeln einfach selbst her, wie es Leonhard mit den komplexen Zahlen gemacht. Du kannst dir diese Formeln Analog zu den komplexen Zahlen herleiten.
Potenzieren und Radizieren sind Äquivalent zueinander, also kannst du sie dir zusammen herleiten, z.B. mit der Polarform der Quaternionen, wie es auch Euler für die komplexen Zahlen tat. Zu beachten ist jedoch die mehrfache Periodizität der Quaternionischen Exponentialfunktion zu 2πi, 2πj, 2πk und all ihre kombinierten Summen.
Den Logarithmus kannst du dir herleiten indem du |q| exp(arg(q) [i, j, k]) bezüglich der Potenzierung als assoziativ annimmst. Dann kannst du wieder einfach die Polarform anwenden und somit wieder eine Analoge Herleitung zu den komplexen Zahlen erhalten.
Hinweis zur Frage und diesen ForumEine Schritt für Schritt Herleitung wird dir hier wohl kaum einer schreiben, da es den Aufwand hier nicht Wert wäre und es an einer Unmöglichkeit mit den Formeleditor von gutefrage grenzt (Zeichenlimit, Bilderlimit, zu schlechter Formeleditor, viele Bugs und die Mangelnden Funktionen machen es tatsächlich einfach unmöglich das angemessen zu machen). Das ist eine Frage für ein Frageform speziell für Mathematik.
Das ist eine Frage für ein Frageform speziell für Mathematik.
Und selbst dort übrigens überflüssig. Selbst mit komplexen Zahlen wird ja praktisch nicht "gerechnet" im eigentlichen Sinn. Es wird die Definition aufgestellt, gezeigt dass sie wohldefiniert ist und grundlegende Eigenschaften wie Stetigkeit Differenzierbarkeit etc. festgestellt (auch hier in den seltensten Fällen mit "konkretem" Rechnen). Dann geht es schlicht weiter wie im Reellen (oder eben weiter mit den zusätzlichen Möglichkeiten die die Erweiterung bietet).
Ein passenderes Forum dafür ist: https://math.stackexchange.com/questions/tagged/hypercomplex-numbers+or+quaternions
Ich finde da zwar keine Herleitungen (außer bim letzten Link), aber die Formeln (Wurzeln, Log, Polarform). Doch wenn du auch an den Herleitungen interessiert bist, kannst du einfach mal dort eine passende Frage formulieren. ;)
Da Quaternionen nicht miteinander kommutieren, ist Analysis innerhalb der Quaternionen nicht so einfach - allein schon eine Ableitung zu definieren, ist wegen der Nichtkommutativität nicht-trivial (man muss Links- und Rechts-Grenzwerte betrachten). Selbst einfache Rechenregeln wie Exp(x+y)=Exp(x)Exp(y) gelten nur für kommutierende Quaternionen…
Danke!