Mathematik, wie kommen diese partiellen Ableitungen zustande?
Hallo, siehe Foto. Gibt es dazu eine bestimmte Regel, wie man die Funktion ableiten kann? Ich bin absolut ratlos. Danke!
4 Antworten
Hallo,
wenn Du f(x,y) ein wenig sortierst und ein wenig umformst, wird die Sache einfacher.
Aus (x²+y²)/4 machst Du x²/4+y²/4
Dann schreibst Du die Funktion so hin:
f(x,y)=(1/4)x²+4x-(1/4)y²+2y
Wenn Du nun nach x ableitest, fallen die Summanden ohne x weg, weil sie nur wie normale Konstanten behandelt werden, die beim Ableiten ja auch verschwinden.
Dann ist f'(x)=(1/2)x+4, der Rest fällt als Konstante weg.
f'(y) ist dann -(1/2)y+2 oder 2-y/2, was genau dasselbe ist, nur umgedreht.
f''(x)=1/2
f''(y)=-1/2, wie es in der Lösung steht.
Beim partiellen Ableiten kümmerst Du Dich nur um eine Variable, die andere wird wie eine normale Zahl behandelt und die Ableitung einer Zahl ist 0.
Wenn Du natürlich xy nach x ableitest, bleibt y übrig. Die Ableitung von 3x ist ja auch 3.
Leitest Du xy nach y ab, ergibt das x.
Wenn die andere Variable aber ohne die Variable, nach der abgeleitet wird, auftaucht, verschwindet sie beim Ableiten.
Herzliche Grüße,
Willy
Ja klar, habe ich vergessen, weil ich am Anfang nur zeigen wollte, wie man den Bruch aufteilt. Beim Einbauen in die Funktion habe ich nicht mehr an das Minus gedacht.
Willy
Okay, kannst du mir vlt. auch sagen, wie man zb F(x,y)= (x^2)/(y^2) ableitet? Was passiert mit y2 wenn ich nach x und y ableite?
Hallo,
wenn Du x²/y² nach x ableitest, ist 1/y² einfach ein Faktor. Du bekommst also (2x)/y² heraus.
Bei der Ableitung nach y bleibt x² Faktor und Du bekommst (-2x²)/y³ heraus.
Vielen Dank auch für den Stern.
Willy
Prinzipiell ist es so, dass bei einer partiellen Ableitung die Variable, nach der nicht abgeleitet wird, als Konstante angesehen werden kann. In diesem Fall hilft es evtl. auch, wenn man den Bruch aufteilt. Dann erhält man:
f(x,y) = 4x + 2y - (1/4) x^2 - (1/4)y^2
Dann gilt für ∂f/∂x: 4 - (2/4)x = 4 - 0,5x
Willy1729 hat schon eine so gute Antwort geschrieben, dass ich gar nichts mehr zu schreiben brauche.
Ja, es stimmt, beim partiellen Ableiten werden alle Variablen so behandelt, als wären sie nichts anderes aus stinknormale Zahlen, mit Ausnahme der Variable nach der man ableitet.
Als Ergänzung kann ich dir noch diese Webseite nennen -->
http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=164f98ba2892701d67ee2aa3ace7a1f6
Damit kannst du überprüfen, ob du dich verrechnet hast oder nicht oder es ausrechnen lassen. Wegen dem Lerneffekt ist es aber besser es selber zu probieren und es dann nur nachprüfen zu lassen.
Mit indizierten Variablen funktioniert diese spezielle App nicht, das kann man ändern, indem man einfach indizierte Variablen unterscheidbar umbenennt, was in deinem Beispiel aber gar nicht nötig ist, weil du keine indizierten Variablen in deiner Aufgabe hast.
was ist nun das problem?
Das wonach nicht abgeleitet wird, als konstante behandeln.
und ansonsten ganz normal ableiten.
Danke hat mir sehr geholfen! Allerdings eine Frage: muss es bei deiner Funktion nicht minus (1/4)x² + 4 heißen?