Partielle Ableitung in der Quotientenregel
Hallo zusammen. Meine Frage wäre wie man unter Berücksichtigung der Quotientenregel diese Funktion partiell ableiten kann :
x + y + (8 / (xy) ).
Ich habe grosse Mühen zu verstehen, wie dies nun abgeleitet wird. also fx (x,y) oder fy (x,y) aussehen sollten.
Bin sehr dankbar für Hilfe :)
2 Antworten
Quotientenregel
f´(x) = f´ ((u(x) / v(x)) = (u`(x)* v(x) - u(x) * v´(x)) / (v(x)²)
f(x) = u(x) / v(x) -------> du definierst den Quotienten einfach als
2 Funktionen
f(x) = (x + y + (8/ xy )) ---------> in deinem Fall wäre u(x) = 8 und
v(x) = x*y
Jetzt differenzierst du dir erst mal f´(x) = f´(8/ xy) nach dieser Regel
f´(x) = (0*xy - 8* y) / (xy)² = -8y / (xy)²
Wenn du jetzt den ganzen Funktionsterm differenzieren willst, wendest du ja die Regel an, dass bei einer Summe jeder einzelne Term differenziert wird.
deshalb kannst du das Zwischenergebnis, das wir eben erhalten haben, dann auch dort gleich einsetzen.
Ich habe es nur extra differenziert, damit es für dich übersichtlicher ist.
In der nächsten Zeile habe ich den Term gleich eingesetzt.
f´(x) = f´(x + y+ 8/ xy) =1 + 0 + ( -8y / (xy)²)) = 1 - 8y/ x²y² = 1- 8/ (x²y)
Für die Differentiation bekommst du das Ergebnis f`(y) = 1-8 / (xy²)
Wenn dir die Quotientenregel zu umständlich erscheint (viele mögen die nicht), dann kannst du das ganze auch umformen und mittels Produktregel rechnen
f´(a(x) * b(x)) = a´(x) * b(x) + a(x) * b´(x)
f´(x) = f´( 8 /xy) = f´(8 * (xy)^-1) ---> wobei a(x) = 8 ist und b(x) = (xy)^-1
f´(x) = (0* (xy)^-1) + 8 * (-1) * y * (xy)^-2 = ( -8y) * (xy)^-2 = -8y / (xy)²
Partielle Ableitung:
Wenn du f(x,y) nach x ableiten möchtest, so lässt du y konstant.
Zum Beispiel sei f(x,y)=2x^2 + 4y^2, so ist f '_x(x,y)=4x (da dann 4y^2 konstant ist und somit bei der Ableitung wegfällt. Nach x wird abgeleitet, deshalb wird 2x^2 zu 4x).
Analog ist f '_y(x,y)=8y
Genau das sollst du nun auf deine Funktion übertragen. Wenn du nach x ableitest, lasse y konstant und betrachte es wie eine Zahl.
Hat das geholfen?
Nein nicht ganz. Das Ergebnis müsste 1 - 8/(yx^2) lauten.
Falls du es nicht mit der Quotientenregel lösen musst, so würde ich folgenden Weg vorschlagen.
Schreibe um:
f(x,y) = x + y + x^(-1) * 8/y
dann kannst du ganz einfach nach x ableiten und y konstant halten:
f_x ' (x,y) = 1 + 0 + (-1) * 8/y * x^(-2)
= 1 - 8/(x^2 y )
lösung müsste demnach 8y / (xy) ^2 sein ?