Mathematik-sin, cos und tan im rechtwinkligen Dreieck?
Ich habe ein rechtwinkliges Dreieck gegeben, siehe Bild, ich weiß leider überhaupt nicht, wie ich vorgehen soll.
Vielen Dank für die ganzen Antworten, ich konnte die Aufgaben gut lösen. 🤩
6 Antworten
In der Trigonometrie hat man einen ganz eigenen Lösungsansatz. Bei Gleichungen versucht man, das x zu isolieren, aber in der Trigonometrie stellt man sich die Frage, welche drei Größen betroffen sind, darunter unbedingt die gesuchte. Dabei macht man sich klar, was diese Größen im rechtw. Dreieck darstellen:
In deinem Beispiel sieht das so aus:
gesucht: Gegenkathete von 60° (x);
gegeben: Winkel 60° sowie Hypotenuse 10 m
Es gibt drei Winkelfunktionen, deren Definition man natürlich kennen muss.
Winkel, Gegenkathete und Hypotenuse kommen vor beim Sinus, daher
sin 60° = x/10 | Unbekannte nach links
x/10 = sin 60° | *10
x = 10 * sin 60°
Auswahl:
Sinus - Winkel, Gegenkathete, Hypotenuse
Kosinus - Winkel, Ankathete, Hypotenuse
Tangens - Winkel, Gegenkathete, Ankathete
Wenn die Hypotenuse nicht betroffen ist, muss der Tangens genommen werden.
Grundsätzlich ist es glaube ich wichtig zu verstehen das cos sin und tan, nur angeben um wieviel länger die eine Seite im Vergleich zur anderen ist.
Bsp.: Der Wert Tangens bei einem Alphawinkel von 45^Grad ( Gegenkathete durch Ankathete ) ist gleich 1
Das bedeutet also, wenn ich die Länge der Gegekathete durch die Länge der Ankathete dividiere, dann erhalte ich den Wert 1.
Sie sind also gleich lang.
Bsp.:2) Der Sinus bei Alpha = 30 Grad ist 0,5. ( Sinus = Gegenkathete durch Hypotenuse )
Das bedeutet: Wenn du die Länge der Gegenkathete mit der Länge der Hypotenuse dividierst, so erhältst du den Wert 0.5.
Anders gesagt, die Hyp ist doppelt so lange wie die GK.
Dein Problem:
Der Sinus Alpha von 60 Grad = ca. 0,866
Wenn du also GK/HYP rechnest, erhältst du als Antwort 0,866
GK/HYP=0,866 ; Du fügst den bekannten Wert für die Hypotenuse ein (10cm)
GK/10cm=0,866 ; Jetzt stellen wir die Gleichung so um das wir GK als Ergebnis bekommen:
GK=10cm*0,866 = 8,66cm
Die Länge der Gegenkathete beträgt also 8,66cm.
LG
Grundsätzlich ist es glaube ich wichtig zu verstehen das cos sin und tan, nur angeben um wieviel länger die eine Seite im Vergleich zur anderen ist.
Wichtig ist es zu verstehen, dass cos, sin und tan die tatsächlichen Längen der jeweiligen Strecken am Einheitskreis sind.
Dass man darüber auf die Seitenverhältnisse kommt, ist trivial. Wenn man aber das obige nicht verstanden hat, bleibt alles Andere nur Auswendiglernerei ohne Verständnis.
Hier kann man den Sinussatz anwenden. Sinus vom gegebenen Winkel ist der Quotient aus Gegenkathete und Hypothenuse, also
sin(60°)=x/10m
Sinussatz wär hier nicht richtig. Der Sinussatz beschreibt das Verhätniss von 2 Winkeln und 2 Seiten.
sin alpha / a = sin beta / b
Was hier gebraucht wird ist aber die "normale" Sinusfunktion. Sin alpha = GK/AK
Der Sinus eines Winkels im rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse.
Schau mal auf Google nach Formeln für das Rechtwinklige Dreieck, da findest du schnell Hilfestellung.
Ich habe 8,66 für x raus. Ist das richtig?