Matheaufgabe Gleichungen lösen 9. Klasse?
"Die Summe zweier natürlicher Zahlen ist 12, die Summe ihrer Quadrate ist 80." Jetzt soll man da das mit einer Gleichung berechnen und ich weiss nicht wie das gehen soll. Kann mir mal jemand bitte helfen? Danke.
5 Antworten
x+y=12 und x^2+y^2=80 --> (12-y)^2+y^2=80 --> und diese Gleichung löst du.
144-y² ist nicht (12 -y)² !!!
Es ist ein zweites Binom, kein drittes.
144 -y² = (12 -y) * (12 +y) (das ist etwas ganz anderes)
(12 -y)² = 144 -24y + y² das muss herauskommen
Die Summe zweier natürlicher Zahlen ist 12.
Die Zahlen sind natürlich N={ 1; 2; 3; ...}
=> es gibt keine negativen Zahlen und "keine" echten Kommazahlen, Brüche, Wurzeln, als Lösungen.
Erste Zahl: x
Andere Zahl: y
Summe: +
x + y = 12
Die Summe ihrer Quadrate ist 80.
Quadrat von x: x² ...
x² + y² = 80
Es gibt zwei Gleichungen
(1) x + y = 12
(2) x² + y² = 80
Die Gleichung (1) nach y auflösen um diese später in (2) einsetzen zu können.
x + y = 12 |-x
(3) y = 12 -x
Nun y = 12 -x in (2) einsetzen:
x² + y² = 80x² + (12 -x)² = 80
x² + 144 -24x +x² = 80 [wegen (12 -x)² = 144 -24x +x² (Erstes Binom)]
2x² -24x +144 =80 |-80
2x² -24x + 64 = 0 |:2
x² -12x + 36 = 0
Dies ist ein 2. Binom. Mit dem Satz vom Nullprodukt kann man dann die Lösung angeben. Alternativ geht die Bestimmung der Lösung mit der pq- oder abc-Formel oder dem Satz von Vieta.
x² -12x + 36 = 0
(x -6)² = 0 Hinweis: (x-6)² = (x-6)*(x-6)
Satz vom Nullprodukt:
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.
(x-6) ist Faktor
x-6 = 0 |+6
x = 6
In Gleichung (3) einsetzen:
y = 12 -x
y = 12 - 6
y = 6
Die beiden gesuchten natürlichen Zahlen sind x=6 und y=6.
un y = 12 -x in (2) einsetzen:
x² + y² = 80
x² + (12 -x)² = 80
x² + 144 -24x +x² = 80 [wegen (12 -x)² = 144 -24x +x² (Erstes Binom)]
2x² -24x +144 =80 |-80
2x² -24x + 64 = 0 |:2
x² -12x + 32 = 0 (HIER WAR DER FEHLER)
Bestimmung der Lösung mit der pq-
oder abc-Formel oder dem Satz von Vieta.
x² -12x + 32 = 0
x1/2 = [12 +- Wurzel ( (-12²) - 4*1*32)] /2
x1/2 = (12 +- Wurzel 16) / 2
x1/2 = 6 +- 2
x1 = 8
x2 = 4
x1 in Gleichung (3) einsetzen:y = 12 - 8 = 4
x2 in Gleichung (3) einsetzen:y = 12 - 4 = 8
Die beiden gesuchten natürlichen Zahlen sind x=4 und y=8.
Wir nennen die Zahlen x und y.
Die Summe ist x + y und es gilt, dass x + y = 12.
Die Summe der Quadrate ist x² + y² und x² + y² = 80.
Damit kannst du ein Gleichungssystem aufstellen und dieses lösen.
1) x+y=12
2) x^2+y^2=80
-> x=12-y
->(12-y)^2+y^2=80
-> 144-24y+y^2+y^2=80 |-80
-> 64-24y+2y^2=0
-> 2y^2-24y+64=0
-> In Lösungsformel einsetzen
-> x1=8 ;x2=4
ich hoffe ich hab keinen Fehler gemacht ^^ müsste aber passen
Lg Tobi
bei (12-y)² musst du beim Klammer auflösen die 2. Binomische Formel anwenden.
Kann man die Klammer so auflösen, dass es dann zu : 144-y^2+y^2=80 wird?
Weil das macht für mich nicht so Sinn