Mathe produktform erstellen?
Ich hatte folgende Aufgabenstellung "schreibe den funktionsterm in der produktform und lese die nullstellen ab, ohne sie zu berechnen. (Ich hab sie jetzt mal berechnet weil ich keine Ahnung hatte wie ich vorgehen soll) und kann jemand erklären wie man des macht, ohne sie zu berechnen?
Und stimmt meine Rechnung ?
4 Antworten
x²-4x+4 sollst du nun umformen
Es funktioniert nach folgendem Prinzip
x²+bx+c = (x+Y)(x+Z)
b = Y + Z & c = Y · Z
Kannst dir das auf einen Merkzettel schreiben
(Achtung: Diese Methode funktioniert nur bei quadratischen Funktionen und mit x², also mit 2x² gehts nicht)
Nun zu deinem Beispiel: was ist nun Y und Z?
b=-4, also z+y=-4 ,da -2-2=-4
c=4, also z·y=4 ,da (-2)(-2)=4
Jetzt kommt der schwierige Teil, bei dem unglaublich hohe intellektuelle Kompetenzen nachgefragt sind: z=-2 und y=-2
also schreibst du dann:
x²-4x+4 = (x-2)(x-2)
Wann ist also f(x)=(x-2)(x-2)=0? so und da kannst du dann die Lsg ablesen
f(x)=x²+px+q
f(x)=(x-x₁)·(x-x₂) → ausmultiplizieren und zusammenfassen
→ x² -(x₁+x₂)·x +x₁·x₂
Daraus ergibt sich, dass
q (das konstante Glied) das Produkt der beiden Lösungen
p (der Koeffizient beim linearen Glied) die negative Summe der beiden Lösungen sind.
Wenn du halbwegs gut kopfrechnen kannst und die Lösungen ganzzahlig sind, kannst du damit die Lösungen relativ leicht berechnen.
Wenn nicht: die pq-Formel geht immer.
Wenn du es ohne Berechnen machen sollst, musst du die 1. Nullstelle erraten! Muss ein Teiler der Konstanten 4 sein! Fang mit 1 an und bei 2 wirst du schon fündig. Nun mit Teiler (x-2) die Polynomdivision durchführen!
Wenn ihr die dazu nötige Polynomdivision noch nicht hattet, dann sollst du sicher die Scheitelpunktform mit quadratischer Ergänzung aufstellen. Nur wenn sich dort noch eine Konstante ergibt, ist es auch nicht die Produktform! Du hast unten aber die produktform mit den Linearprodukten (Nullstellen) aufgeschrieben!
2. Binomische Formel
x²-4x+4=(x-2)(x-2)
dann hast du bei +2 eine doppelte Nullstelle
Poly was ?