Wann ist der Nullstellenansatz möglich?
Guten Abend,
ich kann den Nullstellenansatz verwenden, wenn eine Parabel 2 Nullstellen hat.
Alles weitere bereitet mir noch etwas Probleme.
Folgende Aufgabe nehme ich als Beispiel:
Hier könnte man ja den Allgemeinen Ansatz verwenden:
f(x) = ax^(4) + bx^(3) + cx^(2) + dx + e
Das war bis gerade eben die einzige Möglichkeit für mich, diese Aufgabe zu lösen.
Aber es geht ja noch mit dem Nullstellenansatz:
f(x) = a * (x-x1)(x-x2)
daraus folgt:
f(x) = a * (x+2)^(2) (x-2)^(2)
Punktprobe mit P(0/2), um a zu erhalten:
a = 1/8
daraus folgt:
f(x) = 1/8 (x+2)^(2) (x-2)^(2)
Nun aber zu meinen eigentlichen Fragen:
Wie weiß ich, wann ich den Nullstellenansatz verwenden kann?
Funktioniert dieser Ansatz bei allen Funktionen jeden Grades (ab Grad 2)?
Bei meinem Beispiel hatte die Funktion ja Grad 4, aber nur 2 Nullstellen (Berührpunkte). Diese Funktion könnte jedoch auch 4 Nullstellen haben, dann würde es ja genauso funktionieren mit dem Ansatz:
f(x) = a * (x-x1) (x-x2) (x-x3) (x-x4)
richtig?
Gibt es auch einen Nullstellenansatz mit hoch 3?
f(x) = a * (x-x1)^(3) (x-x1)
Gibt es auch einen Nullstellenansatz mit nur einer Klammer (siehe Beispiel)?
Beispiel:
f(x) = a * (x-x1)
f(x) = a * (x-x1)^(2)
f(x) = a * (x-x1)^(3)
…
4 Antworten
daraus folgt:
f(x) = 1/8 (x+2)^(2) (x-2)^(2)...........korrekt.
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Nun aber zu meinen eigentlichen Fragen:- Wie weiß ich, wann ich den Nullstellenansatz verwenden kann?
- wenn man den Grad kennt und die Anzahl er Nst gleich dem Grad ist ( Berührpunkte ( doppelte Nullstellen ) zählen doppelt
- Funktioniert dieser Ansatz bei allen Funktionen jeden Grades (ab Grad 2)? Ja
- Bei meinem Beispiel hatte die Funktion ja Grad 4, aber nur 2 Nullstellen (Berührpunkte). Diese Funktion könnte jedoch auch 4 Nullstellen haben, dann würde es ja genauso funktionieren mit dem Ansatz:
f(x) = a * (x-x1) (x-x2) (x-x3) (x-x4)...........Richtig ?
ja , man muss eben alle vier NSt erkennen können .
diese Fkt 4ten Grades : -650 - 250 x + x^2 + 10 x^3 + x^4 hat nur 2 sichtbare . Da kommt man nicht weiter
- Gibt es auch einen Nullstellenansatz mit hoch 3? Ja , sogar hoch n
f(x) = a * (x-x1)^(3) (x-x1)
- Gibt es auch einen Nullstellenansatz mit nur einer Klammer (siehe Beispiel)? Ja , das ist eine Gerade . auch eine Gerade kann man als ganzrationale Fkt mit Grad 1 betrachten.
Beispiel:
f(x) = a * (x-x1)
f(x) = a * (x-x1)^(2)
f(x) = a * (x-x1)^(3)
Es ist äußerst unwahrscheinlich dass dir im Abitur Nullstellen mit höherem Grad als 3 unterkommen, denn da wird die Rechnung doch zu kompliziert.
f(x) = a * (x-x1) (x-x2) (x-x3) (x-x4)
Den Nullstellensatz kenne ich nicht, zumindest nicht unter diesem Namen. Aber der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass sich jedes Polynom vierten Grades so darstellen lässt.
Es gibt hier einige Spezialfälle:
Die x1, x2, ... müssen nicht voneinander verschieden sein. In Deinem Beispiel ist z.B. x1 = x2 und x3 = x4. Man nennt das doppelte Nullstellen. Es gibt auch drei- und mehrfache Nullstellen.
Die Nullstellen können auch konjugiert komplexe Paare von Zahlen sein. Die zählen im Bereich der reellen Zahlen nicht als Nullstellen. (Ich vermute mal, dass Du keine Erfahrung im Umgang mit komplexen Zahlen hast.)
Wie weiß ich, wann ich den Nullstellenansatz verwenden kann?
Das weiß du dann, wenn dir die Nullstellen bekannt sind. Sind die nicht bekannt, klappt das auch nicht. In diesem Fall kann man sie ganz einfach ablesen.
Funktioniert dieser Ansatz bei allen Funktionen jeden Grades (ab Grad 2)?
Nein. Wenn die Funktion z.B. hier nach oben so verschoben ist, dass es keine Nullstellen gibt, klappt das mit einfachen Mitteln nicht mehr. Da könnnte man höchstens durch eine Verschiebung des Koordinatensystems künstlich Nulllstelllen schaffen. Das wird dann aber etwas komplizierter.
Diese Funktion könnte jedoch auch 4 Nullstellen haben, dann würde es ja genauso funktionieren mit dem Ansatz:
f(x) = a * (x-x1) (x-x2) (x-x3) (x-x4)
richtig?
Richtig.
Gibt es auch einen Nullstellenansatz mit hoch 3?
f(x) = a * (x-x1)^(3) (x-x1)
Theoretisch ja, ist mir aber in der Praxis noch nicht begegnet.
Wie wird eine Nullstelle in Form eines Sattelpunktes im Nullstellenansatz geschrieben? Dachte bis gerade eben, dass es dann hoch 3 ist. 🤔
Das ist mir neu, scheint aber zu stimmen.
Demnach würde z.B. ein Sattelpunkt S(1/0) zum Ansatz
f(x) = a(x - 1)^3 führen.
Wie @Halbrecht schon schreibt sind die Nullstellen bei -2 und 2 doppelte Nullstellen, d.h. in der Produktdarstellung gehen sie jeweils mit der Potenz 2 ein. In einem Graphen erkennt man Nullstellen mit geradem Grad (also 2, 4 usw.) daran, dass sie an der x-Achse "abprallen", d.h. an der x-Achse die Richtung wechseln.
„Gibt es auch einen Nullstellenansatz mit hoch 3? Ja , sogar hoch“
Hoch 1 ist ja Schnittpunkt, Hoch 2 Berührpunkt und hoch 3 Sattelpunkt, richtig?
Ab hier weiß ich nicht mehr weiter, was sonst noch kommen könnte, sowas brauche ich denke ich sowieso nicht.