Mathe lösen mit Substitution oder Ausklammern von e^x?
Hallo, ich bin in Mathe leider eine Niete und verstehe nicht so recht wie ich die beiden Aufgaben mit Substitution oder Ausklammern lösen kann... (^ steht für hoch und das in den Klammern ist die Hochzahl) 1. 2e^(-2x)-e^(x)=0 2. -1/3e^(-x)+1/6e^(x)=0 Vielen Dank!
5 Antworten
Hallo,
die Potenz- und Logarithmenregeln tun es auch:
2e^(-2x)-e^x=0
2e^(-2x)=e^x
ln (2)+ln (e^(-2x))=ln (e^x)
Da sich der ln und di e-Funktion gegenseitig aufheben, gilt: ln (e^x)=x, also:
ln (2) -2x=x
ln (2)=3x
x=(ln (2))/3
Aufgabe 2 geht entsprechend.
Herzliche Grüße,
Willy
Vielen Dank! Allerdings muss ich im Unterricht die Substitution und das Ausklammern leider können...
Substitution ist hier nicht notwendig.
2 * e^(-2 *x) - e^x= 0 dividiert durch e^x
2 * e^(-2*x) /e^x - 1=0 aus den Mathe-Formelbuch Potenzen a^r/a^s=a^(r-s)
2 * e^(- 3 *x)= 1 ergibt e^z= 1/2 mit z= - 3 *x logarithmiert
z= ln(0,5)=- 3 * x ergibt x= ln(0,5) * - 1/3 =0,231
nochmal die selbe Rechnung
- 1/3 *e^-x +1/6 *e^x=0 dividiert durch e^x
- !/3 * e^/-x) / e^x + 1/6 =0 ergibt e^z mit z= -2 *x
e^z= - 1/6 * - 3/1= 0,5 logarithmiert ergibt z=ln(0.5)= - 2*x ergibt x=ln(0,5)/(-2)
x= 0,3466
HINWEIS ; Besorge dir ein Mathe-Formelbuch privat aus einen Buchladen,z, Bsp. den "kuchling" und einen Graphikrechner (Casio).
Du brauchst dann nur noch die Formeln aus den Mathebuch exakt anwenden.
Die erste Aufgabe wurde dir ja schon vorgerechnet.
Zur zweiten Aufgabe:
f(x)=-1/3*e^(-x)+1/6*e^x
Das sieht nun erstmal kompliziert aus. Mithilfe eines Potenzgesetzes können wir aber substituieren.
e^(-x) ist das selbe wie (e^x)^[-1], also das selbe wie 1/(e^x)
e^x ersetzen wir nun durch z.
Wir erhalten:
f(z)=-1/3*1/z+1/6*z
Zusammengefasst:
f(z)=-1/(3z)+z/6
Durch geschickte Erweiterung kann man sich die Rechnung sehr leicht machen. Wir erweitern mit 6z.
f(z)=[-1/(3z)]*6z+(z/6)*6z
f(z)=(-6z)/(3z)+(6z²)/(6)
Nun kann man super kürzen ;
f(z)=-2+z²
f(z)=z²-2
f(z) soll Null sein.
0=z²-2 | +2
2=z² | Wurzel
z=+-Wurzel aus 2
Nun folgt die Rücksubstitution:
Wurzel aus 2 = e^x | ln
ln(Wurzel aus 2) = x | Umschreiben
x1=0,5*ln(2)
-Wurzel aus 2 =e^x | ln
Im reellen Bereich nicht lösbar.
Die Nullstelle liegt also bei 0,5*ln(2)
Gutefrage hat, zumindest bei mir, die Tendenz, einzeilige und gelegentlich auch zweizeilige Absätze zu verschlucken, sodass wieder ein Fließtext entsteht, deshalb betätige ich die Enter-Taste mehrfach. Bei zu großen Abständen behebe ich das dann ggf., jedoch ist die Bearbeitungszeit hier begrenzt, sodass ich das jetzt nicht mehr machen kann.
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort! Wirklich nett :) Schaue mir das ganze jetzt an und verstehe es dann hoffentlich auch!
1. 2e^(-2x)-e^x=0 |+e^x
2e^(-2x)=e^x |*e^(2x) [Erläuterung: e^(-2x)=1/e^(2x)]
2 =e^(3x) |ln
ln(2)=3x |:3
ln(2)/3=x
x=0,23
2. (-1/3)e^(-x)+(1/6)e^x=0
-1/(3e^x)+(1/6)e^x=0 |+1/(3e^x)
(1/6)e^x=1/(3e^x) |*6 *e^x
e^(2x)=2 |ln
2x=ln(2) |:2
x=ln(2)/2=0,35
mußt Du UNBEDINGT substituieren, dann:
2e^(-2x)-e^x=0
2/e^(2x)-e^x=0
Substitution: z=e^x [e^(2x)=e^x*e^x=(e^x)²]
2/z²-z=0 |+z
2/z²=z |*z²
2=z³ |3. Wurzel
3.Wurzel(2)=z
z=1,26
Re-Substitution:
e^x=1,26 |ln
x=ln(1,26)=0,23
andere ähnlich, sh. MeRoXas' Antwort
1) e^x • (2e^(-3x) - 1 )=0
also 2e^(-3x) = 1
e^(-3x) = 1/2 jetzt ln
-3x = ln(1/2)
x = ln(1/2) : (-3) = 0,23
Absätze machen das Lesen angenehmer, aber müssen sie gleich SOOO groß sein :)