Frage von Butterbrot1505, 65

Mathe lösen mit Substitution oder Ausklammern von e^x?

Hallo, ich bin in Mathe leider eine Niete und verstehe nicht so recht wie ich die beiden Aufgaben mit Substitution oder Ausklammern lösen kann... (^ steht für hoch und das in den Klammern ist die Hochzahl) 1. 2e^(-2x)-e^(x)=0 2. -1/3e^(-x)+1/6e^(x)=0 Vielen Dank!

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe, 34

1. 2e^(-2x)-e^x=0   |+e^x
    2e^(-2x)=e^x         |*e^(2x)    [Erläuterung: e^(-2x)=1/e^(2x)]
          2     =e^(3x)    |ln
     ln(2)=3x               |:3
   ln(2)/3=x
       x=0,23

2. (-1/3)e^(-x)+(1/6)e^x=0
     -1/(3e^x)+(1/6)e^x=0    |+1/(3e^x)
            (1/6)e^x=1/(3e^x)     |*6 *e^x
              e^(2x)=2                 |ln
                 2x=ln(2)             |:2
                x=ln(2)/2=0,35

Kommentar von Rhenane ,

mußt Du UNBEDINGT substituieren, dann:
2e^(-2x)-e^x=0
2/e^(2x)-e^x=0

Substitution: z=e^x         [e^(2x)=e^x*e^x=(e^x)²]
2/z²-z=0           |+z
2/z²=z              |*z²
2=z³                 |3. Wurzel
3.Wurzel(2)=z
z=1,26
Re-Substitution:
e^x=1,26         |ln
x=ln(1,26)=0,23

andere ähnlich, sh. MeRoXas' Antwort

Kommentar von Butterbrot1505 ,

Vielen Dank!

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 10

Substitution ist hier nicht notwendig.

2 * e^(-2 *x) - e^x= 0 dividiert durch e^x

2 * e^(-2*x) /e^x - 1=0 aus den Mathe-Formelbuch Potenzen a^r/a^s=a^(r-s)

2 * e^(- 3 *x)= 1 ergibt  e^z= 1/2 mit z= - 3 *x logarithmiert

z= ln(0,5)=- 3  * x ergibt x= ln(0,5) * - 1/3 =0,231

nochmal die selbe Rechnung

- 1/3 *e^-x +1/6 *e^x=0 dividiert durch e^x

- !/3 * e^/-x) / e^x + 1/6 =0 ergibt e^z mit z= -2 *x

e^z= - 1/6  * - 3/1= 0,5 logarithmiert ergibt z=ln(0.5)= - 2*x ergibt x=ln(0,5)/(-2)

x= 0,3466

HINWEIS ; Besorge dir ein Mathe-Formelbuch privat aus einen Buchladen,z, Bsp. den "kuchling" und einen Graphikrechner (Casio).

Du brauchst dann nur noch die Formeln aus den Mathebuch exakt anwenden.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 38

Hallo,

die Potenz- und Logarithmenregeln tun es auch:

2e^(-2x)-e^x=0

2e^(-2x)=e^x

ln (2)+ln (e^(-2x))=ln (e^x)

Da sich der ln und di e-Funktion gegenseitig aufheben, gilt: ln (e^x)=x, also:

ln (2) -2x=x

ln (2)=3x

x=(ln (2))/3

Aufgabe 2 geht entsprechend.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Butterbrot1505 ,

Vielen Dank! Allerdings muss ich im Unterricht die Substitution und das Ausklammern leider können...

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe, 19

Die erste Aufgabe wurde dir ja schon vorgerechnet.





Zur zweiten Aufgabe:


f(x)=-1/3*e^(-x)+1/6*e^x






Das sieht nun erstmal kompliziert aus. Mithilfe eines Potenzgesetzes können wir aber substituieren.


e^(-x) ist das selbe wie (e^x)^[-1], also das selbe wie 1/(e^x)


e^x ersetzen wir nun durch z.


Wir erhalten:

f(z)=-1/3*1/z+1/6*z

Zusammengefasst:

f(z)=-1/(3z)+z/6







Durch geschickte Erweiterung kann man sich die Rechnung sehr leicht machen. Wir erweitern mit 6z.


f(z)=[-1/(3z)]*6z+(z/6)*6z

f(z)=(-6z)/(3z)+(6z²)/(6)

Nun kann man super kürzen ;

f(z)=-2+z²

f(z)=z²-2

f(z) soll Null sein.


0=z²-2 | +2

2=z² | Wurzel

z=+-Wurzel aus 2






Nun folgt die Rücksubstitution:


Wurzel aus 2 = e^x | ln

ln(Wurzel aus 2) = x | Umschreiben

x1=0,5*ln(2)

-Wurzel aus 2 =e^x | ln

Im reellen Bereich nicht lösbar.


Die Nullstelle liegt also bei 0,5*ln(2)

Kommentar von Rhenane ,

Absätze machen das Lesen angenehmer, aber müssen sie gleich SOOO groß sein :)

Kommentar von MeRoXas ,

Gutefrage hat, zumindest bei mir, die Tendenz, einzeilige und gelegentlich auch zweizeilige Absätze zu verschlucken, sodass wieder ein Fließtext entsteht, deshalb betätige ich die Enter-Taste mehrfach. Bei zu großen Abständen behebe ich das dann ggf., jedoch ist die Bearbeitungszeit hier begrenzt, sodass ich das jetzt nicht mehr machen kann.

Kommentar von Butterbrot1505 ,

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort! Wirklich nett :) Schaue mir das ganze jetzt an und verstehe es dann hoffentlich auch!

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 15

1) e^x • (2e^(-3x) - 1 )=0

also 2e^(-3x) = 1

e^(-3x) = 1/2  jetzt ln

-3x = ln(1/2)

x = ln(1/2) : (-3) = 0,23

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