Mathe Kurvendiskussion Studium? wie geh ich vor?
Wie genau geh ich vor. Ich versuche gerade sehr viel nachzuholen.
3 Antworten
Zu (a): Um strenge Monotonie (hier: Isotonie) zu zeigen, gibt es im Wesentlichen zwei Möglichkeiten. Entweder du zeigst, dass aus a > b auch f(a) > f(b) folgt (das ist die Definition) oder du nutzt, dass aus
strikte Isotonie folgt (das ist aber nur eine Implikation, keine Äquivalenz, d.h. nicht jede strikt isotone Funktion erfüllt dieses Kriterium, aber wenn eine Funktion dieses Kriterium erfüllt, ist sie strikt isoton). Hier klappt es einfach mit dem Ableitungskriterium (f ist als Quotient verketteter differenzierbarer Funktionen differenzierbar).
Zu (b): Du sollst das Infimum der Funktionswerte bestimmen. Ein Supremum oder Infimum von Funktionswerten entspricht immer entweder einem globalen Maximum/Minimum oder aber einer waagrechten Asymptote (wenn die Funktion beschränkt ist). Indem du die Nullstellen der ersten Ableitung ausrechnest, bekommst du bereits einen Blick dafür, wo Minima liegen könnten und was dann noch zu tun ist, ist der Nachweis, dass es sich dabei tatsächlich um ein Minimum handelt (entweder mithilfe einer Monotonietabelle oder der zweiten Ableitung).
Zu (c): Scheint ähnlich zu (b), ist es aber nicht. Wenn du in (b) die möglichen Extrema bestimmt hast, wirst du merken, dass es nur eines gibt. Das Supremum scheint hier also eine waagrechte Asymptote zu sein und das ist es hier auch. Zeige also, dass 1 eine obere Schranke ist und anschließend, dass 1 die kleinste obere Schranke ist (oder arbeite mit Grenzwerten).
Zu (d): Das folgt sofort aus (c).
Zu (e): Argumentiere mit (b), zeige, dass das Infimum angenommen wird, das Supremum hingegen nicht.
Zu (f): Das Argument ist die Stetigkeit von f. Dann folgt alles sofort aus dem Zwischenwertsatz. Kennst du den Zwischenwertsatz nicht, dann argumentiere mit der strikten Isotonie, die du in (a) nachgewiesen hast.
Wenn du im Antworteditor rechts auf die drei Punkte klickst (wenn das Menü nicht eh schon ausgeklappt ist), findest du unter fx einen Formeleditor, der LaTeX kann ;-)
(a) erste Ableitung bilden und zeigen, dass diese überall dasselbe Vorzeichen hat
(b) und (c): Da die Funktion streng monoton ist, musst du nur die Funktionswerte an den Intervallgrenzen berechnen, also f(0) und lim(f(x)) für x gegen unendlich. Da kommt 1/2 und 1 heraus.
(d) Aus (a), (b) und (c) und der Tatsache, dass f keine Polstellen hat, folgt, dass f beschränkt ist.
(e) f'(x) gleich null setzen und f"(x) an den gefundenen Stellen auswerten. Oder über die Monotonie nachdenken. Achtung: Vielleicht sind auch Randextrema gemeint.
(f) folgt eigentlich aus allem bisher Gesagten.
(a) musst du die ableitung bilden, schauen ob extremstellen oder sattelpunkte da sind. Wenn nicht nimmst du einen beliebigen x-wert (der in Df ist) und setzt ihn in die 1. Ableitung ein. Wenn ein positiver Wert rauskommt ist es streng monoton steigend
(b) und (c): die Funktion ist streng monoton wachsend , wie in A herausgefunden, also musst du nur die Funktionswerte bei den Intervallgrenzen berechnen, also f(0) und lim(f(x)) für x gegen unendlich.
(d) da musst du schauen ob es eine senkr. asymptote hat . Dazu setzt du den nenner 0 und erhälst x0. Außerdem muss der Zähler d(x0) ungleich null sein
da es keine polstellen hat, streng monoton wachsend ist und alles was du in a-d rausgefunden hast, ist f beschränkt
(e)da f streng monoton steigend ist, besitzt es keine extremstellen (außer vllt. Randwerte)
(d) da musst du schauen ob es eine senkr. asymptote hat . Dazu setzt du den nenner 0 und erhälst x0. Außerdem muss der Zähler d(x0) ungleich null sein
Ist gar nicht nötig - hätte f eine Polstelle, wäre das in (c) bestimmte Supremum nicht reell, sondern plus oder minus Unendlich.
Kleine Frage nebenbei an Willibergi:
Wie hast du es bewerkstelligt, die Zeile 4 deiner Antwort derart schön formatiert zu schreiben?