Mathe im 1. Semester, vollständige Induktion?
Ich soll das hier anhand einer vollständigen Induktion lösen:
Das Ding ist, dass wir dazu noch keine Übungen oder sowas gemacht haben und ich das bis morgen haben soll. Kann mir jemand einen Ansatz liefern? 😅
5 Antworten
Induktionsanfang: z.B. n=1 einsetzen: (1+5)/6=1 ist richtig
Induktionsbehauptung: (n³+5n)/6 ist eine natürliche Zahl
Induktionsschritt: n -> (n+1)
((n+1)³+5(n+1))/6 = ... = (n³+3n²+8n+6)/6 = ((n³+5n) + 3n²+3n +6)/6
beim letzten Schritt wurde so umgeformt, dass die Voraussetzung (Induktionsbehauptung) verwendet werden kann. n³+5n ist ein Vielfaches von 6 laut Voraussetzung. Jetzt muss nur noch gezeigt werden, dass auch 3n²+3n ein Vielfaches von 6 ist. Wenn dies der Fall ist, könnte man 6 ausklammern und das Ergebnis wäre eine natürliche Zahl
3n²+3n = 3n(n+1)
den Faktor 3 hat man schon, es fehlt noch der Faktor 2
wenn n ungerade ist, dann ist n+1 gerade und wenn n gerade ist, dann ist n+1 ungerade. n*(n+1) ist also immer ein Vielfaches von 2.
3n²+3n ist also ein Vielfaches von 6
vielleicht hat jemand eine einfachere Lösungsmöglichkeit
Hallo,
wenn (n³+5n)/6 eine natürliche Zahl ist, bedeutet dies, daß n³+5n durch 6 teilbar sein muß.
Das ist zu zeigen.
Induktionsanfang für n=1:
1³+5*1=6 und 6 ist durch 6 teilbar.
Nun zeigst Du, daß die Behauptung auch gilt, wenn anstelle von n der Term n+1 eingesetzt wird, daß also, vorausgesetzt, daß n³+5n durch 6 teilbar ist, auch (n+1)³+5(n+1) von 6 geteilt wird.
Ausmultiplizieren:
n³+3n²+3n+1+5n+5=n³+5n+6+3n²+3n
Diese Summe setzt sich zusammen aus n³+5n, das laut Induktionsvoraussetzung von 6 geteilt wird, also ein ganzzahliges Vielfaches von 6 ist, aus 6, die auch von 6 geteilt wird und aus 3n²+3n, für das zu zeigen ist, daß es auch für jedes n ein ganzzahliges Vielfaches von 6 ist.
3n²+3n=3n*(n+1).
Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie sowohl durch 3 als auch durch 2 teilbar ist bzw. jede gerade durch 3 teilbare Zahl ist durch 6 teilbar.
Ist n gerade, ist auch 3n gerade und durch 3 teilbar, also auch durch 6 teilbar und
3n*(n+1) ist das Vielfache einer durch 6 teilbaren Zahl.
Ist n ungerade, ist dafür n+1 gerade und 3n*(n+1) ist das Produkt aus einer durch 3 teilbaren Zahl, nämlich 3n, und einer geraden Zahl, nämlich n+1. Damit ist dieses Produkt durch 3 teilbar und gerade, somit durch 6 teilbar.
Die Summe (n³+5n)+(3n²+3n)+6 besteht somit aus drei Summanden, deren jeder ein Vielfaches von 6 ist und ist somit selbst auch durch 6 teilbar.
Herzliche Grüße,
Willy
Wir sollen beweisen, dass n³ + 5n durch 6 teilbar ist.
Für n = 0 gilt die Behauptung offensichtlich.
Wir nehmen an, dass sie auch für eine natürliche Zahl k gilt.
6 | k³ + 5k
Wir sollen beweisen, dass
6 | (k + 1)³ + 5(k + 1)
Es folgt ein "Mausefallenbeweis", d.h. er wurde eigentlich von unten nach oben hergeleitet.
Es gilt 2 | k(k + 1), denn entweder k oder k + 1 ist eine gearde Zahl
2 | k(k + 1) + 2
2 | k² + k + 2
6 | 3k² + 3k + 6
6 | 3k² + 3k + 6 + k³ + 5k, denn k³ + 5k ist durch 6 teilbar
6 | (k³ + 3k² + 3k + 1) + (5k + 5), geschickt zusammengefasst ;-)
6 | (k + 1)³ + 5(k + 1)
w.z.b.w.
naja, induktionsanfang:
zeigen dass es für n=1 gilt
induktionsschluss:
zeigen dass, wenn es für n gilt, dass es auch für n+1 gilt.
also zeigen dass ((n+1)^3+5(n+1))/6 ebenso eine natürliche zahl ist
Im Prinzip ist der Ablauf bei induktionsbeweisen immer der selbe:
zuerst zeigst du direkt dass die Aussage für ein bestimmtes n gilt.
Also bspw. direkt für n=1 nachrechnen.
Dann sagst du mehr oder weniger:
"Damit gilt es für midnestens ein n aus N (weil wir es ja gerade für n=1 gezeigt haben, duh)"
Dann zeigst du, unter benutzung dass es für n gilt, dass es auch für n+1 gilt.
beispiel:
zu zeigen dass an=-n für jedes n aus N <0 ist.
IA: es gitl für n=1, denn a1=-1 <0
IV: für mindestens ein n aus N gilt an<0
IS: für n+1 gilt:
a(n+1)=-(n+1)=-n-1<-n<0
(beim letzten kleiner zeichen hast du die iV benutzt)
somit ist a(n+1)<0.
damit wurde per Induktion gezeigt dass für alle n aus N an=-n<0 gilt.
vollst. Induktion (google)
n= 1 geht klar
(n³+5n)/6 = N ist Voraussetzung
zu zeigen
( (n+1)³ + 5(n+1) ) / 6
löse mal die Klammern erstmal