Wie Löse ich diese Vollständige Induktion?
Guten Tag an alle Leser,
ich habe vor kurzem mein Studium angefangen und habe paar Probleme in Mathematik, um genauer zu sein bei Vollständiger Induktion da wir sowas in der Schule noch nie hatten.bisher verstehe ich vieles, aber bei der Aufgabe weis ich garnicht was ich machen soll. Bin für jede Hilfe dankbar diese Aufgabe zu lösen.
3 Antworten
Hallo,
der Induktionsanfang für n=0 ist leicht gezeigt.
Für den Schritt von n auf n+1 darfst Du die Induktionsbehauptung benutzen. Du tust so, als sei sie wahr (ist sie in diesem Fall) und untersuchst, ob sie unter dieser Voraussetzung auch noch für n+1 stimmt.
Die Obergrenze der Summe geht nun nicht mehr bis 2n, sondern bis 2(n+1), also 2n+2.
Die Summe von j=0 bis 2n ist ja laut Induktionsbehauptung 8-2*16^(-n).
Wenn Du nun noch die beiden Summanden j=2n+1 und j=2n+2 addierst zu
8-2*16^(-n), dann müßte dasselbe herauskommen, als wenn Du statt n den Term (n+1) in die Summenformel einsetzt, also 8-2*16^(-(n+1)).
Du mußt also zeigen, daß 8-2*16^(-n)+6*(1/4)^(2n+1)+6*(1/4)^(2n+2) gleich
8-2*16^(-(n+1)) ist. Dabei ist es ganz hilfreich, aus 4^(2n) 16^n zu machen und 4^(2n+1)zu 16^n*4 und 4^(2n+2) zu 16^n*16=16^(n+1) umzuformen.
Der Rest läuft auf das Gleichnamigmachen von Brüchen und deren Zusammenfassung heraus.
Es könnte auch ganz nützlich sein, 16^(-n) zu 1/16^n umzuschreiben.
Herzliche Grüße,
Willy
Du mußt das selbst versuchen und Dich da durchbeißen, sonst ist für Dich bald Sense an der Uni, was Mathe anbelangt. Wenn ich so etwas schaffe, der nie Mathe studiert hat oder irgendetwas beruflich mit Mathe zu tun hatte, solltest Du das auch schaffen. Ich habe Dir ja bereits Tipps gegeben, wie das Problem anzugehen ist.
Die Antworten, die konkret auf die Aufgabe eingehen, erzählen ja schon viel. Genau diese Aufgabe findest du ziemlich sicher im Netz (z.B. auf MathExchange).
Ich wollte nochmal ein paar Intuitionen zur strukturellen (oder in deinem Fall: vollständigen) Induktion geben, weil ich das Gefühl habe, dass es da oft hakt - was genau machen wir da eigentlich??
Indikationen werden immer über Mengen geführt. Das funktioniert nur dann, wenn diese Mengen auch induktiv definiert werden können. Durch eine induktive Definition legen wir ein (oder mehrere) Element(e) fest, von dem wir sagen: "Das ist in der Menge". Außerdem gibt es eine oder mehrere Regeln der Form: "Wenn x in dieser Menge drin ist, dann ist auch Regel(x) in der Menge".
Schon eigentlich ganz cool, dass wir mit so wenig Aufwand unendlich große Mengen definieren können.
Bei den natürlichen Zahlen sieht das zum Beispiel so aus:
I) die 0 ist in N
II) wenn x in N, dann ist auch (x+1) in N.
Und mit diesen beiden Regeln legen wir die komplette (!!) Menge der natürlichen Zahlen fest.
Wenn wir jetzt eine Induktion führen, passiert folgendes:
Wir haben eine Aussage, die wir beweisen wollen für alle natürlichen Zahlen. Also können wir doch einfach die Aussage fürs erste fixierte Element (bei N ist es die 0) zeigen und anschließend, weil wir wissen, dass wir für jedes Element das "nächste" mit einer Regel bekommen, es für die Regel dieses nächsten Elements zeigen (bei N ist es (x+1)).
Das funktioniert, weil wir wissen, dass für ein beliebiges aber festes Element x auch (x+1) in der Menge enthalten ist. Im Grunde ist das die Induktionsvorraussetzung. Wir setzen x beliebig, nehmen einfach mal an, dass die Aussage für dieses x gilt (falls es nicht gilt, interessiert es uns auch einfach nicht), und zeigen, dass die Aussage auch (im Grunde für ALLE) (x+1) gilt.
Der Satz in den Klammern (es interessieren uns keine x, für die die Aussage nicht gilt) ist super wichtig. Das bedeutet im Endeffekt, dass eine Induktion nichts wert ist, wenn du diese Induktionsvorraussetzung nicht benutzt.
Die Intuition ist da immer etwas schwer (zu Beginn), also wenn noch Fragen sind, kommentiere sie gerne!
Induktionsannahme:
Bestimme die linke Seite zunächst für n=1 (in der Regel ist in der Uni die 0 nicht in IN). Rechne das aus und zeige, dass das entsprechend gleich der rechten Seite ist für n=1.
Induktionsvoraussetzung:
Dann ist die Induktionsvoraussetzung, dass die Gleichung für ein konkretes n gilt... Einfach die Gleichung also nochmal abschreiben
Induktionsschritt:
Du musst von n auf n+1 schließen unter der Verwendung deiner Induktionsvoraussetzung. Das heißt: Setze n+1 in die linke Seite ein und forme so lange um, bis du auf der rechten Seite rauskommst. Bei endlichen Summen ist das eigentlich immer so, dass du nur bis n aufsummierst und den letzten Summanden rausziehst. Dann setzt du für die Summe bis n deine Induktionsvoraussetzung ein. Dann nur noch umformen und dann sollte die rechte Seite da stehen nur eben für n+1.
Dann hast dus gezeigt.
Danke Willy für deine Zeit! Aber das vorzustellen ist ein bisschen schwierig, glaubst du es wäre möglich dies aufzuschreiben( mathematisch)?
Mit freundlichen Grüßen
Leon