Mathe: Exponentiale Funktionen Aufgabe?
In einer kleinen Tasse Espresso sind 40 mg Koffein enthalten. Die Halbwertszeit von Koffein liegt bei etwa 3 1/2 Stunden. Heißt das also, dass das Koffein alle 3 1/2 Stunden um den Faktor 0,5 abbaut ? Und wäre die Rechnung dann: Gn = 40 * 0,5^n ?
Und die Aufgabe a) dabei ist "Wie viel Koffein ist nach 14 Stunden noch im Blutkreislauf enthalten" Wie muss ich das jetzt genau machen ? Also ich hab jetzt angefangen angefangen mit 14 Std ÷ 3,5 = 4 Und dann habe ich 40 * 0,5^4 = 2,5 gerechnet, aber das kommt mir irgendwie komisch und falsch vor..
Und b) "Bis zu welcher Uhrzeit kann Herr Mauer noch einen Espresso trinken, wenn um 23 Uhr höchstens 5 mg Koffein im Blutkreislauf sein sollen ?" Die Aufgabe versteh ich überhaupt nicht. Muss ich davon ausgehen, dass mit jeden neuen Espresso sein Koffeingehalt im Blut wieder auf 40 gesetzt wird und dann alle 3,5 Stunden wieder abbaut ?
4 Antworten
Oh, oh.
Ich erkenne zunächst einmal, dass sich bei einer Halbwertszeit die Menge halbiert.
20 = 40 * q^3,5 Das kann man kürzen und die Seiten vertauschen
q^3,5 = 1/2
q = 1/2^(1/3,5)
q = 0,82034 Das sind 82 % Restmenge
bzw. ca. 18% Koffeinabbau
Gucken wir mal.
40 * 0,8204^3,5 = 20 mg Stimmt also
Folglich sind es nach 14 Stunden noch
40 * 0,8204^14 mg = ...
Der Ansatz für die 23-Uhr-Aufgabe ist:
5 = 40 * 0,8204^x
Da muss man logarithmieren (oder Wolfram beauftragen), und es kommen die Stunden heraus (etwa 10). Schreib einen Kommentar, wenn du's nicht packst.
So geht es viel schneller, und man begreift es auch.
N(x)=No*a^x mit No=40 mg und x=3,5 Std und N(3,5)=No/2
No/2=*No* a^3,5 ergibt 0,5=a^3,5 a=3.5.te Wurzel(0,5)=0,820...
Probe : N(3,5)=40 * 0,820^3,5=20 mg
N(14)=No*a^x=40*0,820^14=2,485 mg
zu b) N(x)=5 mg ergibt 5=40 * a^x ergibt 5=40=a^x logarithmiert
log(5/40)=log(a^x)=x*log(a) ergibt x=log(5/40)/log(0,82)=10,478 Stunden
Man kann auch x=ln(5/40)/ln(0,82)=10,478 Std. benutzen.
HINWEIS: Dies ist eine "Exponentialfunktion" f(x)=a^x
Durchläuft das Argument x eine "arithmetische Folge",so durchläuft der Funktionswert f(x) eine "geometrische Folge".
zu b . Hier ist nicht angegeben,ob vor der Tasse schon Koffein im Blut enthalten ist. Also geht man davon aus,dass vor der Tasse kein Koffein im Blut ist und somit No=40 mg ist.
Allgemeiner Ansatz für exponentielle Abnahme:
M(t)=M(0)*q^t
M(t) = Menge zum Zeitpunkt t
q=Zerfallfaktor
t=Zeit in Stunden
Man setze die bekannten Werte ein:
M(t)=40*q^t
Wir wissen: Nach 3.5 Stunden (t=3.5) ist nur noch die Hälfte des Koffeins (M(3.5)=20) vorhanden.
Setze das mal alles ein und schau, ob du selbst weiterkommst
b)
Berechne zuerst, wann nur noch 5mg im Kreislauf sind.
Setze dazu 5=M(t) (M(t) aus Aufgabe a)
Und nutze das Gesetz: log(a^b)=b*log(a)
Das t, was du erhältst, ziehst du dann von 23 Uhr ab. Praktischerweise kommt da ein schöner Wert raus.
Bei Rückfragen bitte melden ; die Antworten sage ich dir nicht vor.
Wenn die Halbwertszeit 3,5h und die Startmenge 40mg gegeben sind, ergibt sich für die Menge des Koffeins in abhängigkeit von der vergangenen Zeit t in Stunden folgende Funktion:
n(t)=40mg * 0,5^(t/3,5)
Ich hoffe, dass das weiterhilft ;)
Schönen Abend noch ^^
~Dr Backfisch
Es fällt mir schwer, mir alle Fragestellungen zu merken, weshalb ich im Folgenden auf die Teilaufgaben eingehen werde (ich wüsste nicht, wie man während des Verfassens einer Antwort mit der GF-App die Frage erneut anschauen kann o.o ): zu a): Um die Menge des Koffeins zu erhalten muss man lediglich t gleich 14h setzen.
Ich versteh dein Problem, na gut Danke erstmal. Vielleicht kommt noch was zu b von dir aber wenn nicht ist es auch ncht schlimm, ich hoffe einfach dass in der Arbeit nichts ähnliches drankommt :D
zu b): Zunächst einmal bestimmt man, nach welcher Zeit nur noch 5mg Koffein vorhanden sind. Dafür stellt man folgenden Ansatz auf: 5mg = 40mg * 0,5^(t/3,5h) Wenn man nun nach t auflöst steht da: t = log[index:"dreikommafünfte wurzel aus 0.5"](1/8)
Ich schreibe morgen zufällig auch eine Arbeit über das gleiche Thema ;) Ich vermute jedoch, dass solche Aufgaben definitiv drankommen. Solltest du weitere Fragen haben, versuche ich gerne sie möglichst verständlich zu beantworten. für den fall, dass dem nicht so sein sollte, wünsche ich noch eine schöne nacht und viel erfolg ^^
Übrigens, ich habe eine 2 geschrieben. War sehr verblüfft :D