[Mathe] Anhand Schaubild den Grad einer Funktion bestimmen?
Einen wunderschönen guten Abend,
ich habe noch ein paar Fragen zu folgender Aufgabe. Im folgenden befindet sich ein Bild der Aufgabe und ein Bild des Lösungsvorschlags. Danach befinden sich meine Fragen (meine Fragen beziehen sich ausschließlich auf Aufgabenteil (1)).
Ich habe bei der Aufgabe alles bis auf den Aufgabenteil (1) perfekt verstanden. Hier sind meine Fragen zu dem Aufgabenteil (1):
- Wie kann man anhand eines gegebenen Schaubildes bestimmen, welchen Grad die Funktion haben muss? Geht das nur, indem man sich die Wendepunkte anschaut?
- Das habe ich denke ich jetzt verstanden (die Fragen waren nur mein Gedankengang): Warum kann man sagen, dass wenn es wie hier beim gegebenen Schaubild vier Wendepunkte gibt, dass es keine Funktion vierten Grades sein kann? Ich verstehe, dass wenn man eine Funktion vierten Grades zweimal ableitet es nur noch eine Funktion vom Grad zwei ist. Aber wieso kann man aus der zweiten Ableitung, welche in diesem Fall Grad 2 ist (bei einer ursprünglichen Funktion vierten Grades) daraus schließen, dass sie keine vier Wendepunkte haben kann? Weil die Ableitung also nur maximal zwei Ergebnisse haben kann. Also müsste in diesem Fall die Funktion mindestens von Grad 6 sein, um zum abgebildeten Schaubild zu passen.
- Gibt es noch eine andere Möglichkeit, um eine solche Aufgabe wie hier beantworten zu können, ohne auf die Wendepunkte einzugehen?
- Ist dieser Lösungsweg wie hier in dem Lösungsvorschlag der einfachste?
- Inwiefern haben die gemeinsamen Punkte einer Funktion mit der x-Achse einen Zusammenhang mit dem Grad einer Funktion?
- Inwiefern haben die maximal möglichen Punkte einer Funktion mit der x-Achse einen Zusammenhang mit dem Grad einer Funktion?
Ich freue mich über eure hilfreichen Antworten.
1 Antwort
Hi,
Ich versuche mal, auf deine Fragen zu antworten.
Wie kann man anhand eines gegebenen Schaubildes bestimmen, welchen Grad die Funktion haben muss? Geht das nur, indem man sich die Wendepunkte anschaut?
Das ist das einfachste Vorgehen, ja. Eine Funktion dritten Grades hat einen Wendepunkt. Eine Funktion vierten Grades zwei u.s.w. - hier liegt eine Funktion sechsten Grades vor. Wie die Erklärung es auch darlegt, ziehst du die zweite Ableitung zur Bestimmung der Wendepunkte heran. Die Anzahl der Wendepunkte entspricht der Anzahl der Lösungen der zweiten Ableitung, wenn man diese mit Null gleichsetzt.
Geht man von der allgemeinen Funktionsgleichung aus, hast du bei einer Funktion vierten Grades die Form f(x) = ax⁴ + bx³ + cx³ + dx + e.
Die erste Ableitung ist f'(x) = 4ax³ + 3x² + 2cx + d.
Die zweite Ableitung ist f''(x) = 12ax² + 6bx + 2c.
Das heißt: Als zweite Ableitung bleibt eine quadratische Funktion über. Diese hat maximal zwei Nullstellen (entspricht der maximalen Anzahl Wendepunkte in der Funktion). Rein mathematisch hat also erst eine Funktion sechsten Grades maximal vier Wendepunkte.
Warum kann man sagen, dass wenn es wie hier beim gegebenen Schaubild vier Wendepunkte gibt, dass es keine Funktion vierten Grades sein kann? Ich verstehe, dass wenn man eine Funktion vierten Grades zweimal ableitet es nur noch eine Funktion vom Grad zwei ist. Aber wieso kann man aus der zweiten Ableitung, welche in diesem Fall Grad 2 ist (bei einer ursprünglichen Funktion vierten Grades) daraus schließen, dass sie keine vier Wendepunkte haben kann? Weil die Ableitung also nur maximal zwei Ergebnisse haben kann. Also müsste in diesem Fall die Funktion mindestens von Grad 6 sein, um zum abgebildeten Schaubild zu passen.
Richtig festgestellt, entspricht meiner Erklärung weiter oben. :-)
Gibt es noch eine andere Möglichkeit, um eine solche Aufgabe wie hier beantworten zu können, ohne auf die Wendepunkte einzugehen?
Wäre schwierig. Die Anzahl der Extrema ist m. E. nicht aussagekräftig genug. Wir haben hier nur drei Extrema (Achtung: Sattelpunkte sind KEINE Extrema, sondern Wendepunkte), damit würde man intuitiv erstmal auf eine Funktion vierten Gerades schließen.
Die Anzahl der Nullstellen jedenfalls sagt nichts über den Grad der Funktion aus, sondern vor allem über die Lage im Koordinatensystem. Ich denke das Vorgehen über die Anzahl der WP ist am genauesten. Dort hast du zwar auch eine maximale Anzahl, aber es ist nicht so stark variabel, denn: Auch Sattelpunkte werden berücksichtigt und die Anzahl ist quasi nicht variabel, sondern nur 0 oder n-2.
Ist dieser Lösungsweg wie hier in dem Lösungsvorschlag der einfachste?
Ja.
Inwiefern haben die gemeinsamen Punkte einer Funktion mit der x-Achse einen Zusammenhang mit dem Grad einer Funktion?
Quasi gar nicht. Natürlich kann man sagen: Eine Funktion von Grad n hat maximal n Nullstellen, n-1 Extrema, n-2 Wendepunkte. Das geht. Über die Wendepunkte ist die Argumentation aber am fehlerunanfälligsten, da die Anzahl nicht von der Lage im Koordinatensystem abhängt (im Gegensatz zu den Nullstellen).
Inwiefern haben die maximal möglichen Punkte einer Funktion mit der x-Achse einen Zusammenhang mit dem Grad einer Funktion?
Da das der Anzahl an Nullstellen entspricht, siehe Erklärung zur Frage darüber.
Falls noch was unklar ist, frag gern nach.
LG
Inwiefern haben die maximal möglichen Punkte einer Funktion mit der x-Achse einen Zusammenhang mit dem Grad einer Funktion?
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Da das der Anzahl an Nullstellen entspricht, siehe Erklärung zur Frage darüber.
Ich meinte, wenn man die Funktion im Kopf so verschiebt, dass sie die maximale Anzahl an Nullstellen hat, ob man dann daraus schließen kann, welchen Grad die Funktion haben muss.
Aber das wäre ja auch viel zu kompliziert und fehleranfällig. Ich merke mir das mit den Wendepunkten.
Vielen lieben Dank für deine super Antwort! 🤩