Lotto- Wahrscheinlichkeit zu gewinnen?
hallo erstmal ...
Es gibt ein Silvesterlotto bei dem man lose zieht, es gibt insgesamt 1.000.000 Lose und 4 mal 1 mio. zu gewinnen , sprich eine Chance von 1 zu 250.000. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit 1 mio. zu gewinnen wenn man sich 4 lose kauft . Zerbrech mir seit tagen den Kopf darüber. danke schonmal im Vorraus
4 Antworten
Unter der Annahme, dass du der erste Teilnehmer bist und es noch alle Lose zu haben gibt:
Es gibt 4 erfolgreiche Lose, und 999996 Nieten.
Gewonnen hast du, wenn du mindestens ein erfolgreiches Los ziehst. "Mindestens 1 erfolgreiches Los" schließt folgende Möglichkeiten ein: 1 erfolgreiches Los, es könnten aber auch 2 darunter sein, oder 3 oder 4.
Man könnte für jede dieser Möglichkeiten die Wahrscheinlichkeit berechnen und dann diese Wahrscheinlichkeiten addieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass man mindestens 1 erfolgreiches Los zieht, zu erhalten.
Man kann aber auch die Wahrscheinlichkeit des Komplementärereignisses berechnen. Das ist nämlich "kein erfolgreiches Los ziehen" (d.h. nur Nieten), und das ist sehr leicht zu berechnen. Diese Wahrscheinlichkeit kann man dann von 1 abziehen und erhält dann die gesuchte Wahrscheinlichkeit, also P (mind. 1 erfolgreiches Los).
Beim ersten Ziehen hast du eine Wahrscheinlichkeit von 999996/1000000, dass du eine Niete ziehst. Beim zweiten Ziehen: 999995/999999 (weil du ja schon eins weggenommen hast. Beim dritten Ziehen: 999994/999998, beim vierten Ziehen: 999993/999997.
Das heißt, insgesamt ist die Wahrscheinlichkeit, nur Nieten zu ziehen:
(999996/1000000) * (999995/999999) * (999994/999998) * (999993/999997) = 0.9999840001 (gerundet)
Das noch von 1 abziehen:
1 - 0.9999840001 = 0.00001599992.
Also eine sehr geringe Wahrscheinlichkeit, was zu gewinnen.
Die Wahrscheinlichkeit erhöht sich geringfügig, wenn andere Leute schon viele Nieten aus dem Lostopf gezogen haben.
Also du bist ja damit sehr nah an meiner Lösung mit einem viel einfacheren Gedankengang, und überschlagsmäßig reicht das bestimmt aus.
Aber es ist mathematisch gesehen nicht 100% korrekt, und um zu verstehen, warum, muss man sich den Additionssatz aus der Stochastik anschauen.
Der besagt: Wenn man wissen will, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass A oder B eintritt, muss man folgendes rechnen:
P(A) + P (B) - P (A und B).
Man muss die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, abziehen.
In deinem Fall wäre der Additionssatz etwas komplizierter, weil es nicht nur um 2 Ereignisse, sondern um 4 Ereignisse geht. Du willst ja wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass man beim ersten Los, oder zweiten Los, oder dritten Los oder vierten Los gewinnt. Und das ist quasi P (A oder B oder C oder D). Aber das Problem ist dasselbe: Du ziehst die Schnittmengen nicht ab (dass man also z.B. beim ersten UND zweiten Los gewinnt).
Warum man eine Schnittmenge abziehen muss, erläutere ich mal an einem einfacheren Beispiel.
Stell dir vor, du würfelst zweimal. Wenn du dich fragst, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, beim ersten Mal oder beim zweiten Mal eine 1 zu würfeln, ist die Antwort nicht einfach 1/6 + 1/6.
Warum nicht? Weil man die Schnittmenge (also P (beide Male 1)) abziehen muss.
Das muss ich noch genauer erklären.
Also beim 1. Mal gewinnen kann bedeuten:
1) Ich gewinne beim 1. Mal und verliere beim zweiten Mal.
2) Ich gewinne beim 1. Mal und gewinne beim zweiten Mal.
Die Wahrscheinlichkeit von 1) ist: 1/6 * 5/6. Die Warhscheinlichkeit für 2) ist: 1/6*1/6
Beides zusammen ist 1/6 * 5/6 + 1/6 * 1/6 = 1/6 (Man gewinnt auf die eine oder andere Art beim ersten Mal und die Wahrscheinlichkeit ist dann 1/6).
Für die Wahrscheinlichkeit, dass man beim zweiten Mal gewinnt, gilt:
1) Entweder verliert man beim ersten Mal und gewinnt dann beim zweiten Mal.
2) Oder man gewinnt beim ersten Mal und gewinnt beim zweiten Mal.
Die Wahrscheinlichkeit, dass man beim zweiten Mal gewinnt, ist also wieder 5/6*1/6 + 1/6*1/6 = 1/6.
Jetzt wurde aber insgesamt die Möglichkeit, dass man beide Male gewinnt, zwei Mal eingerechnet (war in beiden Rechnungen drin). Das ist einmal zu viel.
Und genau diesen Fehler machst du auch, wenn du sagst, dass die Wahrscheinlichkeit einfach 4/1000000 + 4 /1000000 + 4/1000000 + 4/1000000 ist.
Ich gehe mal davon aus, dass du wissen möchtest wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist mindestens 1 mio zu gewinnen (bei vier losen könnte man ja auch 4 mio gewinnen).
Dazu würde ich berechnen wie hoch die Wahrscheinlichkeit dafür ist nichts zu gewinnen:
- Los 999996/1000000 (bei vier losen gewinnt man, bei allen anderen nicht)
- Los 999995/999999 (wie oben, allerdings gibt es ein los weniger)
- Los 999994/999998 (s.o.)
- Los 999993/999997
Alles miteinander multiplizieren:
(999996/1000000)·(999995/999999)·(999994/999998)·(999993/999997) = 2777716667163887116669/2777761111141666650000
also ca. 99,9984%. Da wir aber das Gegenereignis haben wollen, müssen wir das Ergebnis von 1 abziehen. dann erhalten wir:
100%-99,9984%= 0,0016%
Edit: Gekürzter Bruch:
1 - (2777716667163887116669/2777761111141666650000) = 44443977779533331/2777761111141666650000
Edit2: oh, da wahr jemand schneller ;-)
Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Million zu gewinnen lässt sich ganz leicht berechnen: 100% - die Wahrscheinlichkeit zu verlieren also 1 - (999996/1000000*999995/999999*999994/999998*999993/999997)
=0.000015999928000024000192000456000768000743998751988935951
=0.0015999928000024000192000456000768000743998751988935951%
Also etwa 1 zu 62500
hab ich mir im kopf ausgerechnet undbin auch auf 62500 gekommen und auch schon vor ein paar tagen... aber jeder meinte ich hätte unrecht ... vielen dank
ich brauch eine klare antwort als gekürzten bruch am besten
ich habs im kopf ausgerechnet und kam auf das ergebnis 4/250000
wenn man 1mio lose hat und 4 mal 1mio zu gewinnen und ein los zieht hat man mit dem los eine wahrscheinlichkeint von 4/1.000.000 ... im grunde das selbe was du gesagt hast nur verkehrt :D und wenn ich 4 lose statt einem hab vervierfacht sich doch logischer weise die Wahrscheinlichkeit ... sprich 16/1000000 verkürzt- 1/62.500 oder nicht ?