Lösungen Pq-Formel?

Hey, ist schon ein Weilchen her, dass ich die Pq-Formel ein letztes Mal anwenden musste. In meinem Falle habe ich zwei Funktionen. Die „Haupt“ Funktion 1. und ihre Ableitung 2.

1. x^4 - 8x^3 + 16x^2
2. 4x^3 - 24x^2 + 32x

Bei der 1. sollte ich Nullstellen berechnen. Habe zuerst ausgeklammert und dann die pq-Formel angewendet. Lösungen waren x1=0 und x2=4

Bei der 2. sollte ich die notwendige Bedingung für Extremstellen prüfen. Als Stellen kamen hierbei x1=0, x2=2 und x3=4. Habe auch hier erst ausgeklammert und dann pq-Formel verwendet.

Nun zu meiner eigentlichen Frage. Warum erhalte ich bei 1. nur eine Lösung aus der pq-Formel und bei 2. erhalte ich zwei Lösungen?

Answer 1

[evtldocha]

Warum erhalte ich bei 1. nur eine Lösung

Du bekommst nur eine weil,

$x^2-8x\ +16\ =\ \left(x-4\right)^2$

ist und damit der Scheitel der Parabel auf der x-Achse liegt (diesen Fall einer Nullstelle nennt man auch "doppelte" Nullstelle oder Nullstelle mit der Vielfachheit 2) In der pq-Formel bedeutet dies, dass der Term unter der Wurzel (Diskriminante D) gleich 0 wird.

Skizze:

Answer 2

[Rubezahl2000]

Hab's jetzt nicht nachgerechnet. Aber grundsätzlich gilt:

1. Die pq-Formel liefert 2 Lösungen, wenn der Term unter der Wurzel ≥0 ist
2. Die pq-Formel liefert 1 Lösung, wenn der Term unter der Wurzel =0 ist
3. Die pq-Formel liefert keine Lösung, wenn der Term unter der Wurzel <0 ist

Anschaulich kannst du dir entspr. Parabeln so vorstellen:

Comments

[LukasKapp08]

das erklärts dann, danke

Answer 3

[Halbrecht]

Warum erhalte ich bei 1. nur eine Lösung aus der pq-Formel und bei 2. erhalte ich zwei Lösungen?

weil die pq immer zu

0 , 1 oder 2 Lösungen führt . Immer 2 kann man nicht erwarten . Sobald unter der Wurzel (p/2)² - q = 0 ist , gibt es nur eine Lösung . Völlig normal.

.

Bildlich : x² Gleichungen sind Parabeln mit zwei , einer oder keiner Nullstelle