Linear unabhängige Vektoren?

Hallo zusammen, 

Ich wäre mega froh, wenn mir jemand bei der Aufgabe helfen kann, wie viele der folgenden Vektoren maximal voneinander linear unabhängig sind. 

(2 0 -4 3 1/4) 

(4 0 -8 6 1/8 ) 

(1 0 -2 3/2 1/2) 

(0 0 0 0 0) 

(-1 0 2 -3/2 -1/2) 

LG 

Isabelle

Answer 1

[ReimundAcker]

(Fortsetzung meiner vorhergehenden Antwort)

$\left(4\ 0\ \left(-8\right)\ 6\ \frac{1}{8}\right)=\left(1\ 0\ \left(-2\right)\ \frac{3}{2}\ \frac{1}{2}\right)\cdot x$ $\Rightarrow4=1\cdot x\ \wedge\ \frac{1}{8}=\frac{1}{2}\cdot x$ $\Rightarrow x=4\ \wedge\ x=\frac{1}{4}$ $\Rightarrow Widerspruch!$ $\Rightarrow\left(4\ 0\ \left(-8\right)\ 6\ \frac{1}{8}\right)\ und\ \left(1\ 0\ \left(-2\right)\ \frac{3}{2}\ \frac{1}{2}\right)\ linear\ unabhängig.$

$\left(1\ 0\ \left(-2\right)\ \frac{3}{2}\ \frac{1}{2}\right)=\left(\left(-1\right)\ 0\ 2\ \left(-\frac{3}{2}\right)\ \left(-\frac{1}{2}\right)\right)\cdot\left(-1\right)$ $\Rightarrow\left(1\ 0\ \left(-2\right)\ \frac{3}{2}\ \frac{1}{2}\right)\ und\ \left(\left(-1\right)\ 0\ 2\ \left(-\frac{3}{2}\right)\ \left(-\frac{1}{2}\right)\right)\ linear\ abhängig.$

$\left(2\ 0\ \left(-4\right)\ 3\ \frac{1}{4}\right)\cdot5+\left(4\ 0\ \left(-8\right)\ 6\ \frac{1}{8}\right)\cdot2+\left(1\ 0\ \left(-2\right)\ \frac{3}{2}\ \frac{1}{2}\right)\cdot2=0$ $\Rightarrow\left(2\ 0\ \left(-4\right)\ 3\ \frac{1}{4}\right),\ \left(4\ 0\ \left(-8\right)\ 6\ \frac{1}{8}\right)\ und\ \left(1\ 0\ \left(-2\right)\ \frac{3}{2}\ \frac{1}{2}\right)\ \sin d$ linear unabhängig.

Unter den gegebenen Vektoren gibt es also 3 linear unabhängige.

Da (-1 0 2 -3/2 -1/2) und (1 0 -2 3/2 1/2) linear abhängig sind (s. o.), sind sie es auch zusammen mit den übrigen Vektoren. Daher gibt es unter den gegebenen Vektoren keine 4 linear unabhängigen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – LMU München, Dipl. Math., eigene Recherche

Answer 2

[DerRoll]

Verstehe ich nicht. Weist du denn was linear abhängig und linear unabhängig bedeutet? Man sieht doch auf den ersten Blick dass die erste Zeile linear abhängig von der dritten und vierten ist (Merke: Der Nullvektor ist linear abhängig von allen Vektoren uvv). Ebenso ist der dritte zum fünften Vektor linear abhängig. Bitte beschreibe genau dein Problem...

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Comments

[Bellartzz]

Naja, ich habe an der Uni diese Aufgabe, genau wie sie hier steht, zum Lösen bekommen und weiß nicht weiter... "Höchstens wie viele der folgenden Vektoren sind linear unabhängig?"

[DerRoll]

@Bellartzz

Meine erste Frage war, "weißt du was linear abhängig und unabhängig bedeutet". Kannst du die bitte beantworten. Wenn du an der Uni bist, solltest du das übrigens recherchieren können...

[Bellartzz]

@DerRoll

Ja ich weiß was es bedeutet, aber ich weiß nicht wie man die Aufgabe oben löst weil unsere Unterlagen so kompliziert sind...

[DerRoll]

@Bellartzz

Du musst doch nur schauen, ob für Vektoren a und b sowie x aus R gilt a = x*b. Und in dieser Aufgabe hat man für x auch noch einfache Werte..,

[FataMorgana2010]

Die erste von der dritten? Das sehe ich jetzt nicht. Die ersten vier Komponenten sind vielfache, klar, aber die letzte? 2 * 1/2 ist nicht 1/4...

[DerRoll]

@FataMorgana2010

Jup, Denkfehler von mir. Ich sollte für heute Schluss machen...

[Bellartzz]

Aber sind nicht alle linear abhängig, weil der Nullvektor dabei ist? Dann wären ja 0 linear unabhängig...

[DerRoll]

@Bellartzz

Die Aufgabe sagt, dass du die voneinander linear unabhängigen aufzählen sollst. D.h. der Nullvektor fliegt als erstes raus.

[Bellartzz]

@DerRoll

Danke! Ich nehme dann zwei als Lösung.

Answer 3

[ReimundAcker]

$\left(2\ 0\ \left(-4\right)\ 3\ \frac{1}{4}\right)=\left(4\ 0\ \left(-8\right)\ 6\ \frac{1}{8}\right)\cdot x$ $\Rightarrow2=4\cdot x\ \wedge\frac{1}{4}=\frac{1}{8}\cdot x$ $\Rightarrow x=\frac{1}{2}\wedge x=2$ $\Rightarrow Widerspruch!$ $\Rightarrow\left(2\ 0\ \left(-4\right)\ 3\ \frac{1}{4}\right)\ und\ \left(4\ 0\ \left(-8\right)\ 6\ \frac{1}{8}\right)\ linear\ unabhängig.$

$\left(2\ 0\ \left(-4\right)\ 3\ \frac{1}{4}\right)=\left(1\ 0\ \left(-2\right)\ \frac{3}{2}\ \frac{1}{2}\right)\cdot x$ $\Rightarrow2=1\cdot x\ \wedge\ \frac{1}{4}=\frac{1}{2}\cdot x$ $\Rightarrow x=2\ \wedge\ x=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow Widerspruch!$ $\left(2\ 0\ \left(-4\right)\ 3\ \frac{1}{4}\right)\ und\ \left(1\ 0\ \left(-2\right)\ \frac{3}{2}\ \frac{1}{2}\right)\ linear\ unabhängig.$

$\left(0\ 0\ 0\ 0\ 0\right)\ ist\ linear\ abhängig\ von\ jedem\ der\ anderen\ Vektoren.$

$\left(2\ 0\ \left(-4\right)\ 3\ \frac{1}{4}\right)=\left(\left(-1\right)\ 0\ 2\ \left(-\frac{3}{2}\right)\ \left(-\frac{1}{2}\right)\right)\cdot x$ $\Rightarrow2=-x\ \wedge\ \frac{1}{4}=-\frac{1}{2}\cdot x$ $\Rightarrow x=-2\ \wedge\ x=-\frac{1}{2}$ $\Rightarrow Widerspruch!$ $\left(2\ 0\ \left(-4\right)\ 3\ \frac{1}{4}\right)\ und\ \left(\left(-1\right)\ 0\ 2\ \left(-\frac{3}{2}\right)\ \left(-\frac{1}{2}\right)\right)\ linear\ unabhängig$

(Fortsetzung in meiner nächsten Antwort (gesplittet wg. Uploadproblem bei gutefrage.de)

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – LMU München, Dipl. Math., eigene Recherche

Answer 4

[PWolff]

Es sind Vektoren aus einem fünfdimensionalen Vektorraum, damit sind maximal fünf Vektoren linear unabhängig. (Wenn die Liste weniger als fünf Vektoren enthielte, wären es maximal so viele Vektoren, wie in der Liste enthalten sind.)

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Wenn nach der tatsächlichen Anzah linear unabhängiger Vektoren gefragt ist:

Schreib die Vektoren nebeneinander/untereinander, sodass sie eine Matrix bilden. Dann kannst du die Verfahren zur Bestimmung des Matrixrangs verwenden:

https://www.google.com/search?q=Rang+einer+Matrix+berechnen

Der Rang einer Matrix ist genau die Anzahl linear unabhängiger Zeilen-/Spaltenvektoren. (Ich gehe mal davon aus, dass die Zahlen aus einem Körper stammen, dann stimmt das immer.)

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Answer 5

[FataMorgana2010]

Streich einfach nacheinander die linear abhängigen raus.

Der Nullvektor kann immer raus. Dann schaust du, ob zufällig einer ein Vielfaches eines anderen weg, der kann dann auch weg. Und dann schaust du dir den Rest wiederum an.

Hinweis: es bleiben nur zwei über.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.-Math. :-)

Comments

[DerRoll]

Erste Zeile gleich dritte Zeile durch 2?