Lineare Gleichungssysteme geometrisch interpretieren (Mathe, Abitur)?
Hi,
ich lern zurzeit aufs Abi und bin grad dabei, LGS zu wiederholen. Bisher hab ich eigentlich alles verstanden, aber kann mir bitte jemand erklären, wie ich die Lösungen (eine/keine/unendlich viele) von so linearen Gleichungssystemen (mit 3 Unbekannten) geometrisch interpretieren kann?
Bei drei Unbekannten handelt es sich doch immer um Ebenen, oder? Das einzige, das ich meine zu wissen ist, dass die Ebenen bei einer falschen Aussage, also z.B. 6=0, keine gemeinsamen Punkte haben, also dass sie parallel (oder identisch?) sind. Aber sicher bin ich mir da auch nicht :D
Ich wäre euch echt dankbar, wenn mir das jemand kurz erklären könnte :) Danke schonmal!
3 Antworten
Wenn x, y und z die gesuchten Variablen sind, kannst du die gegebenen Gleichungen als Ebenen interpretieren. 3 Ebenen können zueinander verschieden liegen, und wenn das Gleichungssystem eine Lösung hat, dann heißt das, es gibt genau einen Punkt, der in allen drei Ebenen liegt (mit den Koordinaten (x|y|z) ).
Die einzelnen Fälle werden hier (http://mathenexus.zum.de/html/geometrie/lage_zueinander/LageEEE_Faelle.html) erläutert.
Wenn das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat, kannst du eine Variable = den Parameter t setzen. In Abhängigkeit dieses Parameters bestimmst du die anderen Variablen. Daraus kann man eine Schnittgerade bilden , indem du das ohne t als Stützvektor nimmst. Da wo du t eingesetzt hast, musst du 0 nehmen. Dann klammerst du das t aus und schreibst die Koeffizienten bei dem t in den Richtungsvektor.
Ich hoffe du hast es verstanden. Habe leider grad kein Beispiel.
Reicht für deine Zwecke nicht die normale Interpretation aus, dass es einfach Kurven sind, die sich in einem dreidimensionalen Koordinatensystem aufhalten und sich dort eben in maximal drei Punkten treffen?
Das reicht in der Ebene doch auch, um zwei Kurven mit maximal zwei Schnittpunkten zu beschreiben, und ist viel verständlicher.