Determinante = 0, GLS unendlich viele Lösungen?
Ich Frage mich gerade folgendes:
Geben sei ein lineares Gleichungssystem:
(I) 3x + 2y + z = 4
(II) 3x + 2y + 0z = 5
(III) 3x + 2y + z = 4
Es stimmen (I) und (III) überein, darum gilt 0=0, dass GLS ist unterbestimmt und hat unendlich viele Lösungen.
Wenn ich das ganze jetzt geometrisch mit einer Matrixtransformation darstelle ergibt sich:
3 2 1
3 2 0 * (x|y|z) = (4|5|4)
3 2 1
Also suche ich den Vektor, der nach der Raumtransformation der Matrix gleich (4|5|4) ergibt.
Dafür brauche ich die Inverse Transformation der Matrix --> M^-1.
Da jedoch die Determinante DET(M) = 0 ergibt, da der Raum von 3d auf einen 2 oder 1 D Raum verzerrt wurde kann man diese Matrix nicht ermitteln.
Das lässt aus geometrischer Sicht ja jetzt die Frage offen, ob das GLS garkeine Lösung hat oder halt unendlich viele oder? Und wenn ja, lässt sich irgendwie bestimmen was von beiden der Fall ist?
2 Antworten
Mit Hilfe von Determinanten kann man beispielsweise feststellen, ob ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, und kann die Lösung mit Hilfe der cramerschen Regel explizit angeben. Das Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrixungleich null ist. Entsprechend ist eine quadratische Matrix mit Einträgen aus einem Körper genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist.
Zwar danke für die Antwort aber das war mir schon klar, dass man zB. keinen 3 Dimensionalen Raum aus einem 2 Dimensionsionalen durch invertierte transformation errichten kann.
An der Determinante kannst du das gar nicht sehen, da die ja nur besagt, ob du eine invertiertere Matrix hast oder nicht. Du hast hier halt eine, die nicht invertierter ist, d.h. die Determinante verschwindet.
In der Tat kannst du dann entweder keine oder unendlich viele Lösungen haben. Entscheidend ist dabei, ob die rechte Seite in Bild der Matrix liegt - ist die im Bild der Matrix, gibt es unendlich viele Lösungen (da du auf den Lösungsvektor immer einen Vektor draufaddieren kannst, der im Kern der Matrix liegt), ist die rechte Seite nicht im Bild der Matrix, gibt es keine Lösung.
Am einfachsten macht man sich das an einem einfachen Gleichungssystem klar:
1 * x = 3 hat eine Lösung
0 * x = 1 hat keine Lösung
0 * x = 0 hat unendlich viele Lösungen.
Danke für die Antwort, für mich ist die Determinante immer der Flächeninhalt, der von Î, J, k ausgeht ✌️😀 aber deine Antwort hat geholfen, danke!