Wann hat ein Gleichungssystem eine, keine oder unendlich viele Lösungen?
I 2x + 4 = y
II 4x + 8 = 2y
Hier z.b. Woran erkennt man dies
5 Antworten
Wenn du eine Gleichung mit einem Faktor multiplizieren kannst und die andere kommt raus ( wie hier, Faktor 2 für die erste), gibt es unendlich viele Lösungen. Wenn die Gleichungen sich widersprechen:
I 2x + 4 = y
II 2x + 5 = y
gibt es keine Lösung.
Ansonsten gibt es eine Lösung.
Graphisch erkennt man das daran:
Sind die Geraden Parallel zueinander, gibt es keinen Schnittpunkt, gibt es also auch KEINE Lösung. Sind die Geraden identisch bzw. linear abhängig, dann gibt es UNENDLICH viele Lösungen. Ansonsten gibt es genau ein Lösungspaar.
Rechnerisch erkennst du es daran:
Führt das Lösen eines linearen Gleichungssystems zu einem Widerspruch, z.B.
, dann gibt es auch keine Lösung.
Führt das Lösen eins linearen Gleichungssystems zu einer wahren Aussage wie:
, dann liegen unendlich viele Lösungen vor.
Und gibt es eine eindeutige Lösung für x und für y, z.B.
, dann gibt es genau ein Lösungspaar.
Wenn du genauer hinschaust siehst du, dass I und II identisch sind. Teile mal die zweite Gleichung durch 2, dann erhältst du die I.
Dann hast du quasi eine Gleichung mit zwei Unbekannten, und diese kannst du nicht eindeutig lösen. Das würde dir aber auch beim normalen lösen vom LGS auffallen. Ich würde jetzt einfach mal das Einsetzungsverfahren nutzen:
I 2x + 4 = y
II 4x + 8 = 2y
Wir ersetzten also y durch (2x+4):
4x + 8 = 2*(2x+4)
4x + 8 = 2*2x + 2*4
4x + 8 = 4x + 8 |-4x
8 = 8
Aller spätestens hier sollte dir auffallen, dass du nicht weiter kommst. 8=8 ist eine wahre Aussage, aber du kommst nicht dazu, das x oder im Anschluss das y zu berechnen (und auch anders herum geht es nicht).
Damit hat das LGS unendlich viele Lösungen.
Ich kann z.B. x=0 und y=4 setzen:
I 2x + 4 = y
2*0 + 4 = 4
4 = 4
Stimmt schon einmal.
Probieren wir es mit der II auch nochmal:
II 4x + 8 = 2y
4*0 + 8 = 2*4
8 = 8
Passt also auch.
_______
Ich kann aber auch sagen:
x = 2 und y = 8:
I 2x + 4 = y
2*2 + 4 = 8
4 + 4 = 8
8 = 8
II 4x + 8 = 2y
4*2 + 8 = 2*8
8 + 8 = 16
16 = 16
Stimmt also auch. Da gibt es nun unendlich viele Lösungen/Möglichkeiten.
__________________________________________________
Keine Lösung gibt es, wenn es einen Widerspruch gibt. Wenn du also beim lösen mit einem Verfahren auf einmal sowas wie 5=7 raus bekommst, ist das ja ein Widerspruch. Dann weißt du, dass es keine Lösung gibt.
Und der letzte Fall ist eben genau eine Lösung. Das ist ja der ganz normale Fall.
Wenn man darauf Bock hat, kann man das machen :D
Ich glaube aber nicht, dass das hier gefordert wird.
Habt ihr schon Matrizenrechnung gemacht und Gleichungssysteme in Matrixform dargestellt?
Wenn ja kannst du dir einfach die Determinante der Koeffizientenmatrix berechnen. Ist diese 0 so hat das LGS unendlich viele oder keine Lösung.
Den Fall für unendlich viele Gleichungen erkennt man dann durch Umformung auf die Dreiecksmatrix indem eine Zeile komplett wegfällt.
Sind diese gleichungen gleich oder parallel sprich kein Schnittpunkt oder schneiden sie sich einfach, zweifach, oder dreifach.
Für den "Undendlich" Fall lässt sich auch ein Lösungsvektor in Abhängigkeit von z.b r aufstellen.