Lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösungen?
Kann mir das jemand erklären :)
1 Antwort
Naja, was ist denn der Rang einer Matrix? Dafür gibt es viele gleichwertige Definitionen. Eine solche Definition ist: "Der Rang einer Matrix ist die Dimension des Spaltenraums der Matrix". Schauen wir uns zudem allgemein Ax, also das Matrix-Vektor-Produkt an. Was ergibt dieses Prodikt denn allgemein? Dafür ist es hilfreich, wenn du dir das ganze gedanklich vorstellen kannst, diesen Vorgang des Rechnens.
Du wirst darauf kommen, dass es einen Vektor mit der Anzahl von Einträgen ergibt, wie die Matrix Zeilen hat. Und was sind diese Einträge? Naja, für den i-ten Eintrag ergibt sich (x sei (x1,...,xm)
b_i=a_i,1*x_1+...+a_i,m*x_m. Damit kannst du den entstandenen Vektor aufteilen in x1*s1+...+xm*sm, wobei s1,...,sm die m Spaltenvektoren der Matrix sind. Jedes Ergebnis des MV-Produktes ist also eine Linearkombination der Spalten der Matrix. Wenn jetzt b eine Lösung besitzen soll, dann existiert ein Vektor (x1,...,xm) sodass x1*s1+...+xm*sm=b. Damit liegt b also bereits im Spaltenraum von A, der neue Spaltenraum von A|b kann also keine größere Dimension haben, also definitiv Rang(A|b)≤Rang(A). Offensichtlich kann aber nicht Rang(A|b)<Rang(A) gelten. Wäre das möglich, dann könntest du aus den Vektoren s1,...,sm,b eine Basis wählen, die s1,...,sm definitiv erzeugt, aber dafür braucht man ja mindestens eine Basis der Länge Rang(A). Also Rang(A|b)=Rang(A). Einfach kann man zudem zeigen, dass, wäre Rang(A)=m, dann muss s1,...,sm ein linear unabhängiges System sein. Man kann ebenfalls leicht zeigen: Liegt ein Vektor b in einem durch linear unabhängige Vektoren aufgespanntem Unterraum, dann hat dieser Vektor eine eindeutige Darstellung als Linearkombination dieses Systems. Also muss, da b ja unendlich viele Darstellungen haben soll, Rang(A)=Rang(A|b)<m gelten.
Bei Rückfragen gerne melden, bin selber noch Erstsemesterstudent und hatte das entsprechend auch gerade erst, also ist sicher noch nicht alles perfekt umschrieben.