Kurvenanpassung bei ganzrationalen Funktionen?
Hallo,
Ich habe eine Matheaufgabe,welche ich nicht verstehe könnte mir bitte jemand helfen?
Ich muss Aufgabe 14 machen und 15 a
Vielen Dank für eure Hilfe
und wie lautet deine konkrete Frage? eine bitte um hilfe ist nämlich keine frage
Ich weiß nicht wie ich da anfangen soll um herauszufinden ob Anna und David die Aufgaben richtig gemacht haben
1 Antwort
14.)
Zuerst einmal lässt du dich auf das was von Anna und David geschrieben haben nicht ein, sondern du bestimmt erst mal selber die Funktion.
f(2) = 4
f´(2) = 0
f(0) = 0
f´´(0) = 0
f´(0) = 1
Die Funktion f ist eine ganzrationale Funktion (Polynom) des 4-ten Grades, das bedeutet folgendes :
f(x) = a * x ^ 4 + b * x ^ 3 + c * x ^ 2 + d * x + e
e ist hier nicht die Eulersche Zahl, sondern eine Variable genannt e
Die ersten drei Ableitungen lauten dann :
f´(x) = 4 * a * x ^ 3 + 3 * b * x ^ 2 + 2 * c * x + d
f´´(x) = 12 * a * x ^ 2 + 6 * b * x + 2 * c
f´´´(x) = 24 * a * x + 6 * b
Nun kann man bereits anhand der Bedingungen ein paar Schlussfolgerungen treffen :
Wegen f(0) = 0 muss e = 0 sein weil a * 0 ^ 4 + b * 0 ^ 3 + c * 0 ^ 2 + d * 0 + e = 0 zu e = 0 führt.
Wegen f´´(0) = 0 muss c = 0 sein, weil 12 * a * 0 ^ 2 + 6 * b * 0 + 2 * c = 0 zu c = 0 führt.
Wegen f´(0) = 1 muss d = 1 sein weil 4 * a * 0 ^ 3 + 3 * b * 0 ^ 2 + 2 * c * 0 + d = 1 zu d = 1 führt.
Du weißt also jetzt --> c = 0 und d = 1 und e = 0
Das darf direkt in den Funktionsansatz und die Ableitungen eingesetzt werden, die nun folgendermaßen lauten :
f(x) = a * x ^ 4 + b * x ^ 3 + x
f´(x) = 4 * a * x ^ 3 + 3 * b * x ^ 2 + 1
f´´(x) = 12 * a * x ^ 2 + 6 * b * x
f´´´(x) = 24 * a * x + 6 * b
Die Bedingungen f(0) = 0, f´´(0) = 0 und f´(0) = 1 wurden schon benutzt und werden zum Aufstellen eines Gleichungssystems nicht mehr benötigt.
Mit den verbliebenen Bedingungen f(2) = 4 und f´(2) = 0 stellst du ein Gleichungssystem auf :
f(x) = a * x ^ 4 + b * x ^ 3 + x
f´(x) = 4 * a * x ^ 3 + 3 * b * x ^ 2 + 1
I.) a * 2 ^ 4 + b * 2 ^ 3 + 2 = 4
II.) 4 * a * 2 ^ 3 + 3 * b * 2 ^ 2 + 1 = 0
Das vereinfacht sich zu :
I.) 16 * a + 8 * b = 2
II.) 32 * a + 12 * b = - 1
Dieses Gleichungssystem löst du und erhältst :
a = - 1 / 2
b = 5 / 4
Zusammen mit c = 0 und d = 1 und e = 0 hast du jetzt also die Funktion :
f(x) = - (1 / 2) * x ^ 4 + (5 / 4) * x ^ 3 + x
Und die Ableitungen :
f´(x) = - 2 * x ^ 3 + (15 / 4) * x ^ 2 + 1
f´´(x) = - 6 * x ^ 2 + (15 / 2) * x
f´´´(x) = - 12 * x + (15 / 2)
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Nun kannst du dich um das kümmern, was David und Anna geschrieben haben :
David schreibt, dass T(2 | 4) ein Tiefpunkt des Graphen ist, das überprüfen wir jetzt :
Wegen f´(2) = 0 ist es auf jeden Fall ein Extremwertpunkt, ob es auch ein Tiefpunkt ist müssen wir mit der 2-ten Ableitung prüfen :
f´´(x) = - 6 * x ^ 2 + (15 / 2) * x
f´´(2) = - 6 * 2 ^ 2 + (15 / 2) * 2 = - 9
Da f´´(2) = - 9 kleiner als Null ist, deswegen ist das ein Hochpunkt und kein Tiefpunkt, da liegt David also schon mal falsch.
Unser Ergebnis : H(2 | 4) wobei (2 | 4) aus der ursprünglichen Bedingung automatisch erfüllt ist.
Zweite Behauptung von David --> W(0 | 0) mit der Steigung 1
Die Steigung 1 ist wegen der ursprünglichen Bedingung f´(0) = 1 automatisch richtig, doch wir müssen prüfen, ob der Punkt (0 | 0) ein Wendepunkt ist.
Wegen der ursprünglichen Bedingung f´´(0) = 0 könnte es ein Wendepunkt sein, aber wir müssen auch überprüfen ob f´´´(0) ≠ 0 ist, ist das nämlich nicht erfüllt dann handelt es sich nicht um einen Wendepunkt.
f´´´(x) = - 12 * x + (15 / 2)
f´´´(0) = - 12 * 0 + (15 / 2) = 15 / 2
Damit ist bewiesen, dass f´´´(0) ≠ 0 ist, Davids Behauptung W(0 | 0) mit der Steigung 1 stimmt also.
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Nun zu Anna :
Dass im Koordinatenursprung, also im Punkt (0 | 0), ein Wendepunkt liegt wissen wir schon von David, das stimmt also.
Nun müssen wir prüfen, ob die Wendetangente wirklich y = x lautet :
Dazu brauchen wir die Tangentengleichung, die lautet :
y = f´(x_t) * (x - x_t) + f(x_t)
wobei x_t die Stelle x ist an der die Tangente die Funktion f(x) berührt.
Der Wendepunkt lautet W(0 | 0) deshalb ist x_t = 0 und f(x_t) = 0
Dass f´(x_t) = 1 ist wissen wir aus der ursprünglichen Bedingung f´(0) = 1
Anna's Behauptung, dass die Wendetangente y = x lautet stimmt also, weil
y = 1 * (x - 0) + 0 dasselbe ist wie y = x
Nächste Behauptung von Anna -->
Waagerechte Tangente im Punkt P(2 | 4)
Eine waagerechte Tangente kann nur dann vorliegen, wenn in dem Punkt (2 | 4) die Bedingung f´(2) = 0 vorliegt, und dass das so ist wissen wir aus der ursprünglichen Bedingung f´(2) = 0
Zusammenfassung :
Hochpunkt im Punkt H(2 | 4)
Wendepunkt im Punkt W(0 | 0) mit der Steigung 1
Die Wendetangente hat die Gleichung y = x
Im Punkt H(2 | 4) hat der Graph eine waagerechte Tangente.
Aufgabe 15.) habe ich aus Zeitgründen nicht mehr gemacht, vielleicht macht das jemand anderes für dich.
Vielen lieben Dank, ehrlich das habe ich nicht erwartet die Hilfe, Dankeschön:)