Kurvenanpassung ganzrationale Funktionen?
Für die kommende Klausur können wir nr 16 und 17 machen, aber iwie komm ich bei den Aufgaben nicht wirklich voran?:( kann mir vielleicht jm helfen?
2 Antworten
16.
Die Übergangspunkte P und Q zwischen den beide Halbgeraden und der gesuchten Parabel haben im Rahmen der Ablesegenauigkeit die Koordinaten P(1|1) und Q(4|2,5). Diese beiden Punkte müssen also auf der Parabel liegen, d. h. ihre Koordinaten müssen die gesuchte Funktionsgleichung erfüllen. Ferner muss an diesen beiden Punkten die Parabel dieselbe Steigung haben wie die jeweilige Gerade, damit dort kein Knick ist.
Die allgemeine Form der gesuchten ganzrationalen Funktion 2. Grades f (deren Graph jedenfalls eine Parabel ist) lautet:
f(x) = ax² + bx + c.
Um a, b und c zu finden, benötigt man 3 Gleichungen. 2 davon erhältst du, wenn du die Koordinaten von P(1|1) und Q(4|2,5) einsetzt:
(1) 1 = a·1² + b·1 + c
(2) 2,5 = a·4² + b·4 + c
Für die 3. Gleichung ermittle zunächst die Steigung m der linken Halbgeraden. Sie beträgt offenbar m = –1. Setze sie in die Gleichung der Ableitung am Punkt P(1|1) ein. Es ist
f'(x) = 2ax + b, also
(3) –1 = 2a·1 + b
Ermittle aus den Gleichungen (1), (2) und (3) die Werte von a, b und c.
Im letzten Schritt musst du nun noch überprüfen, ob f auch am Punkt Q dieselbe Steigung hat wie die rechte Halbgerade. Ermittle die Steigung k der Halbgeraden und setze sie gleich der Ableitung von f bei Q:
(4) k = 2a·4 + b
Da du a, b und k bereits bestimmt hast, ist Gleichung (4) wahr oder falsch. Entsprechend gibt es eine Funktion f mit den gewünschten Eigenschaften oder nicht.
17 a)
Da die Funktion 2 Extrema haben soll, muss sie mindestens von 3. Grad sein, also die allgemeine Form f(x) = ax³ + bx² + cx + d haben.
Um die 4 Parameter a, b, c und d zu bestimmen, braucht man 4 G.eichungen. 2 davon erhält man, indem man die Koordinaten der Punkte (0|2) und (2|0) in die Funktionsgleichung einsetzt:
(1) 2 = a·0³ + b·0² + c·0 + d
(2) 0 = a·2³ + b·2² + c·2 + d
Weitere 2 Gleichungen erhält man, indem man ausnutzt, dass die Ableitung von f'(x) = 3ax² + 2bx + c an den Extrempunkten x=0 und x=2 Null sein muss:
(3) 0 = 3a·0² + 2b·0 + c
(4) 0 = 3a·2² + 2b·2 + c
17 b)
Der durchschnittliche Winkel der Rutsche ergibt sich aus der Steigung der Geraden durch ihre Endpunkte (0|2) und (2|0). Da diese mit dem Ursprung (0|0) ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck bilden, beträgt dieser Winkel 45° und ist damit größer als die erlaubten 40°.
Die Winkel an jedem Punkt der Rutsche sind durch die jeweilige Steigung der Kurve dort, also durch f' gegeben. Weil es bergab geht, ist die Steigung stets negativ und die steilste Stelle dort, wo f' am kleinsten ist. Dort muss f' ein Minimum haben, f'' also Null sein.
f''(x) = 6ax + 2b
Finde also dasjenige x0, wo
(5) 0 = 6ax0 + 2b.
Die Steigung von f bei x0 ist minimal und beträgt f'(x0).
17 c)
Die gesuchte Funktion sei g(x) = px³ + qx² + rx + s, der Startpunkt sei S(0|h), die Höhe der neuen Rutsche ist also h.
Also ist g'(x) = 3px² + 2qx + r und g''(x) = 6px + 2q.
Da S und Q auf g liegen und Anfang und Ende der Rutsche waagerecht sein sollen, erhalten wir wie in a) die 4 Gleichungen
(6) h = p·0³ + q·0² + r·0 + s und
(7) 0 = p·2³ + q·2² + r·2 + s.
(8) 0 = 3p·0² + 2q·0 + r
(9) 0 = 3p·2² + 2q·2 + r
Damit an der steilsten Stelle x1 der Winkel 45°, die Steigung also –1 ist, muss dort ähnlich wie bei b) wieder gelten
(8) –1 = 3px1² + 2qx1 + r und
(9) 0 = 6px1 + 2q
Aus diesen 6 Gleichungen lassen sich die 6 Parameter h, p, q, r, s, x1 errechnen. Die gesuchte Höhe der Rutsche ist h.