Kontrapositionsbeweis?
"Wenn die Diagonalen in einem Viereck nicht gleich lang sind, so ist es kein Rechteck."
Wie kann ich diesen Satz mathematisch korrekt und auf Uni- Niveau beweisen?
Mir ist natürlich klar, dass ich es zeichnerisch easy zeigen könnte aber ich bräuchte es ein Niveau höher.
3 Antworten
Hi,
ich hatte in der Uni auch mit Mathe zu tun. Ich versuche mal, dir den Beweis zu erklären, den ich mir hier gerade zusammengeschustert habe ^^ aber eine Frage: was soll man da groß auf Uni-Niveau beweisen?
Wir beweisen allerdings das Gegenteil, damit wäre dann nämlich auch deine Aussage bewiesen.
Es ist also zu zeigen: Wenn die Diagonalen in einem Viereck gleich lang sind, so ist es ein Rechteck.
Eine Skizze musst du dir trotzdem machen. Zeichne dir ein Rechteck, und zeichne die Symmetrieachsen ein. Du erhältst vier gleich große, kongruente Teilrechtecke. Der Schnittpunkt der Teilrechtecke sei M.
Die Diagonale des einen Teiltechtecks geht von A bis M. Die Diagonale des zweiten Teiltechteckes geht von M bis C. Die des dritten geht von B bis M und die vierte geht von M bis D.
Da wir gesagt haben, dass die Teilrechtecke kongruent sind, müssen alle vier Strecken gleich lang sein: AM = BM = CM = DM.
Da zwei Teildiagonalen eine Gesamtdiagonale bilden, gilt AM+CM = BM+DM. Damit sind die Diagonalen gleich lang und der Satz ist bewiesen (damit auch dein Gegenteil des Satzes). Denn bei einem Viereck, das kein Rechteck ist, hast du keine Symmetrieachsen, die das Viereck in vier kongruente Teilvierecke unterteilen.
Das ist zwar jetzt nicht mit komplizierten mathematischen Formeln hergeleitet, aber das müsste so eigentlich funktionieren und eigentlich auch ausreichen - auch, wenn ich irgendwas Elementares übersehen habe.
LG
Hi, genau das habe ich doch gemacht :)
Deine Aussage: Wenn die Diagonalen nicht gleichlang sind, ist das Viereck kein Rechteck.
Die Kontraposition lautet: Wenn sie gleichlang sind, ist das Viereck ein Rechteck. Und das beweisen wir, da die Aussage, wenn die Kontraposition wahr ist, auch wahr sein muss :)
Damit hast Du bewiesen: Weil die Diagonalen in einem Rechteck gleichlang sind sind die Diagonalen in einem Rechteck gleichlang.
Es ist also zu zeigen: Wenn die Diagonalen in einem Viereck gleich lang sind, so ist es ein Rechteck
Die Umkehrung dieses Satzes wäre "wenn ein Viereck kein Rechteck ist..."
Die benötigte Aussage "wenn die Diagonalen ungleich sind..." lässt sich so nicht ableiten
Du zerlegst das Rechteck durch seine Diagonalen in zwei Dreiecke und beweist die Kongruenz der einen Zerlegung mit der anderen. Beide Dreiecke haben eine Kathede gemeinsam, die andere ist gleichlang, da gegenüberliegende Seiten im Rechteck per Definition gleichlang sind, der von den Katheden eingeschlossene Winkel ist gleichgroß, da alle Winkel im Rechteck rechte Winkel sind. Somit sind die von den Diagonalen gebildeten Dreiecke nach SWS kongruent, ihre Hypotenusen sind somit gleichlang, dies sind die Diagonalen im Rechteck.
Die Kontraposition zu der Aussage ist:
Wenn ein Viereck ein Rechteck ist, dann sind seine Diagonalen gleich lang.
Das ist leicht mit dem Satz des Pythagoras zu beweisen, indem man die Diagonalen einfach berechnet.
Hallo vielen Dank für die schnelle Antwort :) leider brauch ich diesen beweis als kontrapositionsbeweis und nicht als direkten Beweis.. Ich weiß leider nicht wie ich das jetzt umformulieren könnte