Frage von Traumbewahrer, 286

Könnt ihr mir bei Stochastik helfen?

Im Anhang ist das Bild einer Aufgabe, die ich nicht annähernd verstehe...
Bei a) Muss man 65432(1) rechnen? (Wegen des Feldes)
Bei b) Wahrscheinlich ist die Wahrscheinlichkeit für die Karotte größer... Immerhin gibt es mehr Wege dorthin...
Ich weiß aber nicht, wie ich das berechnen kann!
Bei c) Da wäre ein Ansatz eurerseits sehr nett!

Und bei Teil 2 weiß ich leider überhaupt nicht weiter. Es wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte!

Lg Traumbewahrer

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 60

Hallo,

Stichworte: pascalsches Dreieck, Binomialkoeffizienten, Galton-Brett, Normalverteilung.

All dies hängt mit der Aufgabe zusammen.

Das Labyrinth besitzt sechs Ebenen mit Hindernissen, in der siebten Ebene warten die Leckerchen. Sie wird aber als sechste gezählt, weil das eine Hindernis ganz oben die nullte Ebene ist.

Um zu verstehen, was da passiert, fang bei zwei Ebenen an, also mit einem Brett, in das drei Nägel in Form eines gleichseitigen Dreiecks eingeschlagen sind.

Läßt Du eine Kugel auf den obersten Nagel fallen, läuft sie entweder links oder rechts daran vorbei. Zu jedem der beiden Nägel darunter führt also genau je ein Weg.

Schlägst Du darunter drei Nägel ein, so daß diese sechs Nägel nun ein gleichseitiges Dreieck bilden, erreichst Du die beiden äußeren Nägel nur jeweils auf eine Art, den mittleren dagegen auf zwei Arten, denn schräg über ihm befinden sich zwei Nägel, von denen der Ball zum mittleren abtropfen kann. Die Möglichkeiten sind 1 2 1.

Eine Reihe darunter kann - von links nach rechts - auf 1 3 3 1 Art erreicht werden - probiere es aus.

So geht es gemäß dem Pascalschen Dreieck weiter.

1 4 6 4 1 ist die nächste Ebene usw.

Die Nägel eine Ebene tiefer werden immer auf Lücke gesetzt, die Wege, sie zu erreichen, ist die Summe der Wege, auf die die beiden Nägel schräg darüber erreicht werden können.

5. Ebene: 1 5 10 10 5 1

6. Ebene (Leckerchen): 1 6 15 20 15 6 1

Das sind die Binomialkoeffizienten (6 über 0), (6 über 1) usw. bis (6 über 6)

Die Walnuß ist also auf einem Weg zu erreichen, die Karotte auf 15, die Erdbeere auf 6, denn sie liegen an 0., 2. und 5. Position, also gibt es (6 über 0); (6 über 2) und (6 über 5) Wege.

Da es insgesamt 2^6=64 Wege gibt, wären die Wahrscheinlichkeiten normalerweise 1/64, 15/64 und 6/64

Nun hat die Maus aber diesen Rechtsdrall, was bedeutet, daß die Walnuß, die nur zu erreichen ist, wenn sich die Maus jedesmal für rechts entscheidet, mit einer Wahrscheinlichkeit von (2/3)^6 zu erreichen ist, was 64/729 ergibt.

Bei der Karotte kann die Maus zwar 15 unterschiedliche Wege gehen, aber bei jedem muß sie sich viermal für rechts und zweimal für links entscheiden. Die Wahrscheinlichkeit ist also 15*(2/3)^4*(1/3)^2.

Um zur Erdbeere zu gelangen, kann sie 6 Wege gehen, wobei sie fünfmal nach links und einmal nach rechts abbiegen muß:

Wahrscheinlichkeit: 6*(2/3)*(1/3)^5

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Traumbewahrer ,

Ich bin dir unendlich dankbar! Kannst du mir noch einen Ansatz für den zweiten Teil geben?

Kommentar von Willy1729 ,

Vereinfache das Problem: Die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln, liegt bekanntlich bei 1/6. Wie wahrscheinlich ist es, bei dreimal Würfeln eine 6 zu würfeln? Die 6 kann beim ersten, zweiten oder dritten Wurf fallen, das sind drei Möglichkeiten, multipliziert mit (1/6)*(5/6)² (einmal 6, zweimal keine 6).

Allgemein: k Treffer bei n Würfen:

(n über k)*p^k*(1-p)^(n-k), wobei p für Treffer, 1-p für 'kein Treffer' steht. Man nennt dies eine Bernoulli-Kette.

Nun zu den Mäusen:

Die Wahrscheinlichkeit, bei der Erdbeere zu landen, liegt bei 
6*(2/3)*(1/3)^5=4/243

Das gilt für eine Maus.

Bei zwei Mäusen ist die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens eine von ihnen die Erdbeere findet, dieselbe, als würdest Du bei einem Spiel, bei dem ein Treffer eine Wahrscheinlichkeit von 4/243 hat, zwei Runden mitspielen und dabei einen oder zwei Treffer landen. Das ist die Summe von 2*4/243*239/243
und 1*(4/243)².

Zehn Mäuse sind dann wie zehn Runden. Mindestens 5 davon möchtest Du gewinnen. Das ist die Summe aus 5, 6, 7, 8, 9 und 10 Gewinnen.

5 Gewinne in 10 Runden: (10 über 5)*(4/243)^5*(239/243)^5

239/243 ist die Wahrscheinlichkeit für eine Niete: 1-4/243

Du kannst also die Summe für k=5 bis 10 bilden über
(10 über k)*(4/243)^k*(239/243)^(10-k)=0,00000028425

Die Wahrscheinlichkeit ist also nicht allzu hoch.

Die Wahrscheinlichkeit übrigens, daß keine der zehn Mäuse die Erdbeere findet, liegt bei (239/243)^10=0,8471 oder 84,71 %.

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens eine Maus die Erdbeere erwischt, ist das Gegenereignis von 'keine Maus findet die Beere'.

Wenn dies mit 99 % Wahrscheinlichkeit erreicht werden soll, muß die Gleichung gelten:

1-(239/243)^n=0,99

(239/243)^n=0,01

Logarithmieren:

n*ln(239/243)=ln(0,01)

n=[ln(0,01)]/[ln(239/243)]=277,455

Du mußt also 278 Mäuse in das Labyrinth geben, damit die Erdbeere mit mindestens 99 % Wahrscheinlichkeit wenigstens von einer gefunden wird. (Haben die Viecher eigentlich keinen Geruchssinn?)

Willy

Kommentar von Traumbewahrer ,

Vielen Dank. Alles perfekt verständlich erklärt!

Kommentar von Willy1729 ,

Ich hoffe, es stimmt auch; bin mir aber relativ sicher. Ansonsten mögen mich Berufenere korrigieren.

Willy

Kommentar von Traumbewahrer ,

Noch eine letzte Frage: bei Teil 1, c): die Wahrscheinlichkeit wäre, wenn alle Wege gleich wahrscheinlich wären, 34,38%. Nun gibt es aber diesen Rechtsdrall... Wie würdest du die Aufgabe lösen?
Lg

Kommentar von Willy1729 ,

Ich hatte die Wahrscheinlichkeit so berechnet, als hätten alle Mäuse diesen Rechtsdrall. Ansonsten liegt die Wahrscheinlichkeit, die Erdbeere zu finden, für eine Maus bei 
(1/2)^6=1/64, die Gegenwahrscheinlichkeit bei 63/64.

Diese Zahlen müßtest Du dann anstelle von 4/243 und 239/243 einsetzen.

Kommentar von Willy1729 ,

Nee, falsch: Du hast ja sechs Möglichkeiten, die Erdbeere zu finden; das ergibt eine Wahrscheinlichkeit von 6/64=3/32

Kommentar von Traumbewahrer ,

Ich meine aber die Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet die Maus überhaupt Futter... :)

Kommentar von Willy1729 ,

Das ist natürlich die Summe der Wahrscheinlichkeiten für Walnuß, Karotte und Erdbeere:

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 68

Es geht hier um einen "Mehrstufigen Zufallsversuch" mit n=5 ( 5 Stufen die Maus entscheidet 5 mal rechts oder links)

Diese Versuche kann man mit einen Baumdiagramm darstellen ,wobei sich je nach Aufgabe verschiedene Wege (Pfade) ergeben.Es können sich auch mehrere Pfade mit der selben "Pfadwahrscheinlichkeit" ergeben.

Die "Pfadwahrscheinlichkeit" ergibt sich aus den Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten,die auf diesen Pfad liegen.

a. Wahrscheinlichkeit für die Nuss. Die Maus passiert 5 Kreuzungen und die Wahrscheinlichkeit,dass die Maus rechts bleibt liegt bei P(r)=2/3

Der Pfad ist somit P(Nuss) = 2/3 *2/3*2/3 *2/3 *2/3*2/3=(2/3)^5=0,131=13,1 %

b. Pfadwahrscheinlichkeit für die Möhre (Pfad ist vorgegeben)

P(Möhre) = 1/3 *2/3 *1/3 *1/3 *2/3= (1/3)^3 * (2/3)^2=0,0164=1,16%

Bei mehreren Pfade mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gilt

P(gesamt)= Anzahl der Pfade * Pfadwahrscheinlichkeit

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Kommentar von Traumbewahrer ,

Vielen Dank für die Antwort! Also existieren nicht 2^6 mögliche Wege, sondern 2^5?

Kommentar von fjf100 ,

Ääähhh ,also wie viele Wege nun möglich sind ,kann ich nicht sagen.

Wenn die Maus nun Umwege macht,dann ergeben sich natürlich mehr als 5 Kreuzungen und die Pfadwahrscheinlichkeit ,dass die Maus diesen Umweg nimmt,wird nätürlich geringer.

Beipiel : Wenn nun die Maus den kürzesten Weg zur Möhre nimmt,dann ist die Wahrscheinlichkeit für diesen Weg das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten an den n -Kreuzungen.

Gibt es nun mehrere Wege zu dieser Möhre ,mit der selben Pfadwahrscheinlichkeit.dann ergibt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit = Anzahl der Pfade * Pfadwahrscheinlichkeit 

Wie viele Wege vom Startpunkt zur Nuss es gibt, weiss ich nicht.

Kommentar von Traumbewahrer ,

Ja, aber sind es nicht sechs Abzweigungen, die die Maus nehmen kann?

Kommentar von fjf100 ,

Also ,ich mach das hier nur als Hobby. Solch eine Aufgabe habe ich noch nie gerechnet.Mehr kann ich dir leider nicht helfen.

Ich werde mich,wenn ich Zeit und Lust habe,mit dieser Aufgabe mal näher beschäftigen.

Geld verdienen,kann ich dabei auf keinen Fall.

Antwort
von PhotonX, 85

Tipp zu Ia): In jeder Ebene entscheidet die Maus zwischen links und rechts und es gibt, wenn ich mich nicht verzählt habe, 7 Ebenen.

Kommentar von Traumbewahrer ,

Ich zähle nur sechs Ebenen, wenn ich weiß was du meinst.

Kommentar von PhotonX ,

Tut mir Leid, du hast natürlich Recht! 6 Ebenen und eine Entscheidung zwischen zwei Möglichkeiten bei jeder von ihnen. Wie viele Möglichkeiten gibt es also?

Kommentar von Traumbewahrer ,

1440?

Kommentar von PhotonX ,

Nein.

Kommentar von Traumbewahrer ,

Ich weiß es echt nicht. Kannst du mir nicht etwas konkreter helfen? Ich dachte 6! * 2!...

Kommentar von PhotonX ,

Wieviele Möglichkeiten hat die Maus bei der ersten Verzweigung abzubiegen? Zwei. Wieviele Möglichkeiten bei der zweiten? Auch zwei. Usw.

Kommentar von Traumbewahrer ,

Also nur 12? Das schien mir sehr unwahrscheinlich!

Kommentar von PhotonX ,

Wie kommst du denn auf 12? Zwei Möglichkeiten bei der ersten Ebene PLUS zwei bei der zweiten PLUS zwei bei der dritten ... oder wie?

Kommentar von Traumbewahrer ,

Ja, dachte ich. Oder soll ich 2^6 (=64) rechnen? Das scheint immer noch zu wenig...

Kommentar von PhotonX ,

Da musst du dir bitte nochmal genauer anschauen, wie man mit mehrstufigen Zufallsexperimenten arbeitet. 2^6 ist aber die richtige Lösung!

Kommentar von Traumbewahrer ,

Das versuche ich seit gefühlt drei Stunden! Ich würde mich nur sehr freuen, wenn du mich auch bei den anderen Aufgaben ein wenig an die Lösung heranführen könntest!

Kommentar von PhotonX ,

Lass uns mit der Walnuss anfangen. Wie viele Pfade führen zu ihr?

Kommentar von Traumbewahrer ,

Naja die Maus könnte theoretisch in einer Geraden zu der Nuss gerade aus laufen, oder?

Kommentar von PhotonX ,

Genau. Gibt es noch andere Möglichkeiten?

Kommentar von Traumbewahrer ,

Ich gibt scheinbar noch sehr viele andere Möglichkeiten. Sie könnte sich auch in Richtung Erdbeere bewegen und dann kurz vor Ankunft Richtung Walnuss bewegen. Bei der Karotte genauso.

Kommentar von PhotonX ,

Wirklich? Die Maus kann ja nicht nach oben laufen, nur nach links-unten und nach rechts-unten.

Kommentar von Traumbewahrer ,

Ja, stimmt. Dann gäbe es ja auch eigentlich nur die eine Lösung oder? Sonst müsste die Maus ja nach oben laufen...

Kommentar von PhotonX ,

Genau. Weißt du nun, wie man die Wahrscheinlichkeit für das Erreichen der Walnuss berechnet?

Kommentar von Traumbewahrer ,

Sie läuft ja die ganze Zeit gerade aus. Das heißt, sie läuft nicht nach links. Also (2/3)^6?

Kommentar von PhotonX ,

Genau! Dann lass uns die Karotte anschauen. Hier sehe ich keine bessere Möglichkeit als sich alle möglichen Wege aufzuzeichnen, mehr als 64 können es ja nicht werden. ;)

Kommentar von Traumbewahrer ,

Das dauert ja ewig!

Kommentar von PhotonX ,

So viele dürften es gar nicht werden, fange am besten zugleich von oben und von unten mit den möglichen Verzweigungen an.

Kommentar von Traumbewahrer ,

Eine andere Antwort hier geht davon aus, dass es nur 5 Abzweigungen gibt. Sind es nun 5 oder 6?

Kommentar von PhotonX ,

Nun, ich bleibe bei 6. :)

Kommentar von Traumbewahrer ,

Ich bin jetzt echt verunsichert... Und wenn ich die Wege versuche aufzumalen, wird es zu unübersichtlich...

Kommentar von Traumbewahrer ,

Ich habe 13 gezählt...

Kommentar von PhotonX ,

Ok, da fehlen wohl ein paar. :) Lass uns vielleicht so denken: Wie oft muss die Maus links abbiegen und wie oft rechts, wenn sie zur Karotte kommen will?

Kommentar von Traumbewahrer ,

2 mal rechts und 3 mal links?

Kommentar von PhotonX ,

Und wenn du ein bisschen genauer hinschaust? 2+3=5, wir sind aber immer noch bei 6 Abbiegungen.

Kommentar von Traumbewahrer ,

2 rechts, 4 links?

Kommentar von PhotonX ,

Genau. Nun lass uns überlegen, wie viele Möglichkeiten es gibt zwei rechte und vier linke Abbiegungen anzuordnen, also: (rrllll),(rlrlll) usw.

Kommentar von Traumbewahrer ,

48?

Kommentar von PhotonX ,

Wie kommst du darauf?

Kommentar von Traumbewahrer ,

Naja für die Anordnung der l's gibt es 4! Möglichkeiten, für die der r's 2! Möglichkeiten... 4!*2!=48

Kommentar von PhotonX ,

Kennst du die Schreibweise (n k) (wird gelesen als "n über k")? (n k)=n!(k!(n-k)!). Mehr dazu: https://de.wikipedia.org/wiki/Kombination_(Kombinatorik)#Anzahl In unserem Fall: (6 2)=15.

Kommentar von Traumbewahrer ,

Ist das richtig?

Kommentar von Traumbewahrer ,

Ja, diese Schreibweise kenne ich nur zu gut. :D ich habe gedacht, die 48 wären richtig, wir haben eine ähnliche Aufgabe im Unterricht auch so gelöst... Aber danke. Jetzt muss ich 15 mal die Wahrscheinlich (1/3)^4*(2/3)^2 rechnen, oder?

Kommentar von PhotonX ,

Genau! Wahrscheinlich ist dir aber noch nicht klar, warum hier (6 2) Möglichkeiten herauskommen, oder?

Kommentar von Traumbewahrer ,

Ja, das stimmt.

Kommentar von Traumbewahrer ,

Sagst du es mir?

Kommentar von PhotonX ,

Ich telefoniere gerade, habe bitte etwas Geduld. ;)

Kommentar von Traumbewahrer ,

Oh, tut mir leid. Ich bin nur etwas gestresst und mit meiner Konzentration am Ende; hoffentlich verstehst du das...

Kommentar von PhotonX ,

Klar, kein Problem!

Stelle dir verschiedenfarbige Kugeln vor, sechs Stück in sechs Farben. Zwei sind mit R gekennzeichnet, vier mit L. Es gibt nun 6! Möglichkeiten die Kugeln anzuordnen: 6 Möglichkeiten einen Platz für die erste zu finden, 5 für die zweite, usw.

Nun sind aber für uns die Farben völlig unerheblich, uns interessieren nur die Markierungen R und L. Wir können also die Kugeln beliebig umordnen, es dürfen dabei bloß keine Rs mit Ls getauscht werden. Solche Anordnungen betrachten wir als äquivalent. Zu jeder der 6! Anordnungen gibt es nun 2!*4! äquivalente Anordnungen, die durch vertauschen der beiden R-Kugeln miteinander (2! Umordnungen) und/oder vertauschen der vier L-Kugeln untereinander  (4! Umordnungen) entstehen. Insgesamt gibt es also 6!/(4!*2!) nicht äquivalente Anordnungen.

Kommentar von Traumbewahrer ,

Ah, jetzt verstehe ich es. Danke für die Mühe! Jetzt haben wir ja insgesamt 64 Wege und 22 Wege, die zu Erdbeere, Walnuss und Karotte führen. Also beträgt bei c) die Wahrscheinlich, dass die Maus überhaupt Futter findet, 22/64=34,38%; oder?

Kommentar von Traumbewahrer ,

Und??

Kommentar von PhotonX ,

Das wäre der Fall, wenn alle Wege gleichwahrscheinlich wären. Nachdem die Maus aber einen "Rechtsdrall" hat, musst du etwas aufpassen!

Kommentar von Traumbewahrer ,

Inwiefern denn?

Kommentar von PhotonX ,

Indem du die Wege mit ihren Durchlaufwahrscheinlichkeiten gewichtest, wie du auch schon bisher die Wahrscheinlichkeiten irgendwo anzukommen berechnet hast.

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