kleinstmögliche quersumme einer durch 37 teilbaren positiven ganzen zahl?
mache gerade rätsel. kommt ihr auch auf 333?
6 Antworten
111=3 * 37 hat die Quersumme 3
Nach MO-Aufgaben zu suchen, ist nicht ehrlich.
Dass 3 funktioniert, ist dir schon mit ausreichend vielen Beispielen gezeigt worden. 2 ist als Quersumme unmöglich. Du wirst selbst beweisen müssen, warum - aber ein paar Ideen gebe ich dir mit.
(1) Wie kannst du eine Zahl verändern, ohne dass sich die Quersumme ändert?
(2) Welche Form haben Zahlen, die die Quersumme 2 haben? Es gibt zwei Möglichkeiten.
(3) Benutze die schematische Darstellung der Zahlen aus (2) - und schau dir für die eine Möglichkeit Primfaktorzerlegungen an (Einzeiler), und für die andere Restklassenrechnung (Stichwort: Modulo - wenn du dich damit nicht auskennst).
Tipp für (3): Zerlege die Zahlen weiter, und betrachte Summen.
Ich kann gerne den ganzen Beweis aufschreiben, aber erst, wenn die MO-Runde vorbei ist. Sonst ist der ganze Olympiadengedanke hinfällig - und als ehemalige Teilnehmerin widerstrebt mir der Gedanke. Wir geben auch häufiger mal alte Aufgaben raus. Brute force Ansätze sind übrigens nicht gerne gesehen, da in weiteren Runden kein Computer zur Verfügung steht.
Lehrer googlen Lösungen übrigens auch (eigene Berufserfahrung) - Abschreiben wird dir vermutlich nichts bringen, und wenn doch, wird's in der nächsten Runde nicht leichter.
Hier mal ein paar mögliche Lösungen, bei denen als Quersumme 3 rauskommt:
37 * 3 = 111
37 * 30 = 1110
37 * 273 = 10101
37 * 300 = 11100
37 * 2703 = 100011
37 * 2730 = 101010
37 * 2973 = 110001
37 * 3000 = 111000
37 * 27030 = 1000110
37 * 27300 = 1010100
37 * 29730 = 1100010
37 * 30000 = 1110000
37 * 270273 = 10000101
37 * 270300 = 10001100
37 * 272973 = 10100001
37 * 273000 = 10101000
37 * 297300 = 11000100
37 * 300000 = 11100000
wichtiger wäre es jetzt zu wissen wie man ausschliesst dass nicht quersumme 2 rauskommen kann
Im Internet nach Lösungen von Aufgaben der derzeit laufenden Mathematikolympiade zu suchen, ist äußerst unehrenhaft.
hahaha woher weißt du das aber ich mach das ja nicht um zu gewinnen sondern einfach so weil ich die antwort wissen will
Die kleinstmögliche Quersumme ist 3. Diese erhält man beispielsweise bei der durch 37 teilbaren Zahl 111.
und wie ist der Beweis dazu ? evtl. gibt es eine riesige Zahl die aus lauter 0er und nur 2einsen besteht aber trotzdem durch 37 teilbar ist. z.b. 1000000000000000000000000000000000000000001 :-) oder wie kann man beweisen dass sowas nie durch 37 teilbar sein kann (also zahl die mit 1 beginnt und lauter nullen dazwischen und mit 1 endet ist nie durch 37 teilbar)
ok, obiges ist wohl der beweis ... hab ich noch nicht gelesen
Wie mihisu geschrieben hat, kann man jede Zahl, die aus zwei Einsen und sonst Nullen besteht als Z=10^x+10^y schreiben. Sagen wir y<x, dann ist Z=10^y(10^(x-y)+1). Da 37 prim ist muss es 10^z+1 teilen. Dieser Schritt ist gleichbedeutend wie alle Nullen hinter der zweiten Eins zu streichen, dadurch ändert sich nichts an der Teilbarkeit oder der Quersumme. Dann muss 10^z=-1 mod37, aber das ist nicht möglich denn 10^0=1 mod37, 10^1=10 mod37, 10^2=26 mod37 aber wieder 10^3=1 mod37. Eine -1 kommt nicht vor als Rest.
Dazu habe ich mir den folgenden Beweis überlegt. Evtl. gibt es aber auch einfachere Beweise/Begründungen. Da bin ich jetzt zu faul, darüber weiter nachzudenken.
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Die einzigen positiven Zahlen mit Quersumme 1 sind
10^x
für x = 0, 1, 2, 3, 4, ...
In der Primfaktorzerlegung einer solchen Zahl, kommen jedoch nur die Primfaktoren 2 und 5 vor, nicht die Primzahl 37. Daher ist 10^x jeweils nicht durch 37 teilbar.
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Die einzigen positiven Zahlen mit Quersumme 2 sind
10^x + 10^y
für x = 0, 1, 2, 3, 4, ... und y = 0, 1, 2, 3, 4, ...
10^x + 10^y ist genau dann durch 37 teilbar, wenn 10^x + 10^y kongruent 0 modulo 37 ist. Beim Rechnen modulo 37 kann man nach kleinem Satz von Fermat im Exponenten modulo 36 rechnen, ohne das Ergebnis zu verändern. Man muss demnach nur die 36 * 36 = 1296 Zahlen 10^x + 10^y für x = 0, 1, 2, ..., 35 und y = 0, 1, 2, ..., 35 untersuchen. Das habe ich meinen PC schnell überprüfen lassen. Keine dieser Zahlen ist durch 37 teilbar.
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Damit muss die Quersumme einer durch 37 teilbaren positiven Zahl mindestens 3 sein. Und dafür findet man Beispiele: 111, 1110, 11100, ...