Kleinster Abstand von einem Graph zur Gerade?
Ich hab mal als Bild die Aufgabe so wie die Lösung von der b) Aufgabe mit angehangen. Hier wird davon ausgegangen, dass am Punkt mit dem kleinsten Abstand die Tangente parallel zur Gerade ist. Ist das immer so bzw. wieso ist das so?
Danke schon im Voraus!
2 Antworten
Das kann man sich folgendermassen verdeutlichen. Angenommen man zeichnet einen Kreis und eine beliebige Gerade ausserhalb des Kreises, und sucht den kleinsten Abstand zwischen Kreisrand und der Geraden.
Dazu zieht man ein Lot der Geraden durch den Mittelpunkt M des Kreises. Auf dem Lot kann man den kleinsten Abstand "ablesen". Die Kreistangente (blau) am Berührpunkt verläuft immer parallel zur Geraden.
Bei einem gekrümmten Graphen verhält sich das nicht anders.
ja das müsste immer so sein.
sieh es mal so: die differenz der tangente t von K und der steigung m von der geraden ist ein maß dafür, ob sich die Funktion der geraden annähert oder von ihr entfernt. Sei also t die steigung der tangente und m die steigung der geraden
t-m>0 bedeutet dann, dass der graph K sich weiter rechts näher an der geraden befinden wird und
t-m<0 bedeutet dann, dass der graph K sich weiter rechts weiter weg von der geraden befinden wird.
für t=m folgt daher, dass K den gerinsten abstand zur geraden erreicht hat. versuch es dir im zweifel mal grafisch vorzustellen.
Du kannst es auch so verstehen, dass je nachdem ob t nun größer oder kleiner als m ist, die der graph K schneller oder langsamer abfällt bzw. schneller oder langsamer ansteigt als die gerade. der punkt an dem beide also gleich schnell sind (weil t=m) ist daher der punkt des überholens der Geschwindigkeit der einen funktion bzgl der anderen (also der geraden). Also quasi der punkt, an dem die eine Funktion ihren abstand zur geraden nicht mehr verringert sondern als nächstes beginnt ihn zu vergrößern.
Ah, danke. Das ist also immer so und das Lot wäre ja die Normale oder?