Kennt jemand das Ergebnis?
Hallo,
hab Mal ne mathematische Frage, bzw. ein Problem, bei dem ich nicht weiter komme.
Aufgabe: Ermitteln sie die kleinste ganze Zahl z, für die sowohl z als auch die Quersumme Q(z) durch 2,3,4 und 5 teilbar sind.
Danke für jeden Lösungsansatz bzw. Für jede Lösung.
Anonym
6 Antworten
Eine solche kleinste ganze Zahl gibt es nicht. Z.B. der Zahl, die nur aus 60 Einsen und am Ende 2 Nullen besteht, kann ich beliebig viele Nullen anhängen, ohne dass es die Quersumme ändert. Dadurch bekomme ich beliebig große Zahlen, deren Quersumme 60 ist und die selbst durch 60 teilbar sind.
Indem ich jeweils ein Minus davor setze, bekomme ich beliebig kleine Zahlen, deren Quersumme -60 ist und somit durch 2,3,4 und 5 teilbar ist.
Das würde mehr Sinn ergeben, aber da steht ausdrücklich ganze Zahl und es wird auch eiskalt das übliche Symbol z für ganze Zahlen verwendet, also dachte ich ich erwähns mal besser.
Bei natürlichen Zahlen sollte man auch besser explizit die 0 verbieten ;)
😋
gehört die Null zu den natürlichen Zahlen? unsere Profs haben immer noch sone kleine 0 hinter das komische N geschrieben...
gemeint ist aber bestimmt eine natürliche Zahl
Das glaube ich auch, aber Mathematik ist knallhart. Es zählt, was da steht.
Entweder war die Aufgabe eine Art Fangfrage oder der Aufgabensteller hat gepennt. Ich halte den zweiten Fall für wahrscheinlicher und muss sagen: Wer eine Scheiss-Aufgabe stellt, darf sich über eine passende Antwort nicht wundern.
Das ist so ne Frage, bei der sich Mathematiker wohl nie einig werden :D Manchmal gehört die 0 dazu, manchmal nicht. Das Symbol IN wird leider nicht einheitlich verwendet.
Wenn man die natürlichen Zahlen mengentheoretisch definiert, setzt man typischerweise die kleinste natürliche Zahl auf die leere Menge. Die nächstgrößere Zahl ist dann einelementig, die nächstgrößere Zahl zweielementig usw. In diesem Kontext z.B. ist es sehr naheliegend, die 0 als natürliche Zahl zuzulassen, weil dann eine natürliche Zahl genau ihre eigene Kardinalität ist.
Da es eben diese Uneinigkeit gibt, ist es in jedem Fall besser, wie deine Professoren in den Index eine 0 oder ein kleines >0 hinzuschreiben, damit eindeutig ist, was gemeint ist.
unsere Profs haben immer noch sone kleine 0 hinter das komische N geschrieben...
Ich habe in der Schule gelernt, dass 0 die kleinste natürliche Zahl ist. Aber ich habe nicht vor, gegen Mathematiker jetzt einen Glaubenskrieg zu entfesseln 😉
(Den verliere ich sowieso.)
Wenn 0 keine natürliche Zahl ist, dann gibt es kein neutrales Element der Addition. Das kann doch nicht gewollt sein.
Hier wird von einer positiven ganzen Zahl z gesprochen.
Ist eine Aufgabe der Mathematik- Olympiade
Mit dem ersten Ansatz des kgV von 60 ist man schon gut bedient. Wie auch bereits geschrieben, sucht man eine Zahl der Form k*60 wobei k Element der natürlichen Zahlen ist.
Da die Aufgabe lautet "suche die kleinste positive ganze Zahl" soll die Zahl also möglichst klein werden, dass heißt sie soll möglichst wenig Stellen haben. Da sie ein Vielfaches von 60 ist, muss sie auch zwangsläufig auf 0 enden. Soweit so gut.
Zahlen haben eine "hohe" Quersumme, wenn die einzelnen Stellen möglichst groß (am besten 9) sind. eine Zahl die sechs Neunen besitzt kommt auf ein Quersumme von mindestens 54. Fehlt noch eine Stelle mit der Ziffer 6 und man kommt auf die Quersumme 60. Wir haben also eine Sechs, sechs Neunen und am Ende muss die Null stehen. Die kleinste Zahl, die das erfüllt wäre die 69.999.990. Diese ist aber leider kein Vielfaches von 60...
Geht man wieder zu dem Gedanken zurück, dass die Quersumme möglichst groß ist, wenn möglichst viele große Zahlen drin sind, insgesamt jedoch eine möglichst kleine Zahl gesucht wird, wäre der nächste logische Schritt die erste 6 um 1 zu erhöhen und dafür eine 9 um 1 zu verringern.
Es bleiben die Zahlen
78.999.990, 79.899.990, 79.989.990, 79.998.990, 79.999.890 und 79.999.980. Sie haben alle die Quersumme 60 aber nur die letzte ist durch 60 teilbar. Entweder durchprobieren oder damit begründen, das die Zahl k*60 nur auf 00, 20, 40, 60 oder 80 jedoch nie auf 90 enden kann.
Somit ist 79.999.980 die kleinste positive Zahl, die durch 2,3,4 und 5 teilbar ist und deren Quersumme ebenfalls durch 2,3,4 und 5 teilbar ist.
VG
Mathe-Olympiade 621011
🙄
die Quersumme muss größer gleich 2·2·3·5=60 sein (denn wenn sie durch 4 teilbar ist, ist sie auch durch 2 teilbar... und die anderen sind Primzahlen und müssen deswegen dabei sein...)...
dürft ihr einen Computer benutzen, der die ganzzahligen Vielfachen von 60 ausprobiert?
ich hab trotzdem mal ein Programm geschrieben:
#include <stdio.h>
int main() {
for (int k=1; k<10*1000*1000; k++) {
unsigned z = k*60U;
int sum; for (sum=0; z>0; z/=10) sum+=z%10;
if (sum%60==0) { printf("k=%u z=%u\n",k,k*60); break; }
}
return 0;
}
es kommt das da raus:
> c++ -o a a.c -O3 && ./a
k=1333333 z=79999980
aber MagicalGrill sagt, dass es keine kleinste ganze Zahl geben wird, weil:mit
Danke für den Ansatz, so ähnlich hab ich es mir auch schon überlegt. Wir dürfen übrigens kein Programm benutzen...
ich glaub, es ist eine Scherzfrage... siehe Antwort von MagicalGrill
Ist aber etwas ineffizient dein Programm, denn bei den ersten zahlen ist ziemlich klar, dass die nicht die Quersumme 60 haben können.
Man sollte erst bei etwa 999999/60 zu zählen anfangen.
ja... ich fand die Optimierung mit der 60 schon soopa... deine Optimierung hätte weniger als 2% gespart... dafür tipp ich mir doch nich die Finger wund... 6* die Taste 9... schnaub... 😋
Man könnte auch direkt über die Quersummen iterieren und die Teilbarkeit prüfen. Oder eventuell sogar über z und Q(z) gleichzeitig, das dürfte aber etwas schwieriger werden dann.
(Wobei Teilbarkeit durch 5 heißt, 0 oder 5 hinten, da es auch durch 2 teilbar ist, darf hinten keine 5 stehen, und Teilbarkeit durch 3 heißt, dass die Quersumme durch 3 teilbar ist. Also an sich könnte man sich da vermutlich echt leicht etwas bauen.
30, 60, 90, 120, 150, 180, ... Und da dann die rauspicken, deren Quersumme durch 4 und 5 teilbar ist. Also erst einmal kann man offenbar dein Verfahren vereinfachen, denn man muss nicht auf die teilbarkeit durch 2 oder 3 prüfen, wenn man immer um 60 erhöt. Das kommt sich hier aber gleich.)
Mir fällt auch gerade keine schnellere Lösung ein, bzw. müsste ich mri da erst einmald ie ersten zahlen hinschreiben, deren Quersumme 60 ist, um ein muster finden zu können.
der Witz an dem Programm ist ja, dass man nicht viel denken muss, um es zu schreiben... bin immer so denkfaul... 😋
auf deine Tour fängt man sich außerdem vielleicht Fehler ein... 😋
ich bin trotzdem schneller... 😋
hast aber Recht... wäre cooler, wenn man es so macht, wie du es beschreibst... kannst ja selbst ne Antwort schreiben...
Damit eine Zahl durch 2,3,4 und 5 teilbar ist, muss sie durch 60 teilbar sei (kgV)
Also hat deine Zahl die Form k*60.
Damit die Quersumme einer Zahl mindestens 60 ist, muss sie mindestens 7 Stellen haben. Da deine Zahl (siehe oben) auf 0 endet, hat sie mindestens 8 Stellen.
Hilft das?
Durch mehrere Überlegungen.
gestartet bin ich mit 66666660, was gerade mal zu einer Quersumme von 42 führte.
da 300, 3000, 30000, usw durch 60 teilbar sind, konnte ich die entsprechenden 6en durch 9en tauschen und so die Quersumme auf 60 heben mit 99999960.
Nächste Überlegung: um so weiter "rechts" höhere Zahlen stehen, um so niedriger wird bei gleicher Quersumme die Zahl. Die höchste 10er-Stelle bei einem Vielfachen von 60, ist die 8 (bei 3*60 = 180).
um aus der 6 eine 8 zu machen, müsste ich also 120 addieren (damit die Teilbarkeit gewährleistet blieb), das würde aber zu einem "Überlauf" der Zahl führen. deswegen musste ich die Hunderterstelle wieder korrigieren, ohne Zehner- und Einerstelle zu beeinflussen. das ging, in dem ich 5*60 = 300 abzog.
ich kam damit auf meinen ersten "Tipp": 99999960 +120-300 = 99999780
Die weitere Überlegung: solange die Einerstelle 0 ist und die Zehnerstelle gerade, ist die Reihenfolge der Ziffern für die Teilbarkeit durch 60 irrelevant. Um also die kleinste Zahl zu erhalten, kam die 7 ganz nach vorne: 799999980
Um jetzt auf noch eine kleiner Zahl zu kommen, die die Kriterien erfüllt, müsste man eine Zahl "rechts" vergrößern, um "links" eine kleiner machen zu können.
Die 0 scheidet wegen der Teilbarkeit durch 60 aus. Die 8 könnte man noch auf eine 9 erhöhen, aber das geht auch wegen der Teilbarkeit nicht.
Eine 9 zu "erhöhen" würde nur zu einer größeren Zahl führen, da aufgrund des Überlaufs alle Neunen sich ändern würden und auch die vorderste Zahl.
Deswegen musste das die gesuchte Lösung sein.
ich glaube, es geht um eine natürliche Zahl z...
oh... hast recht... da steht „ganze Zahl“... lol
gemeint ist aber bestimmt eine natürliche Zahl...